О том как горит пух 🔥
(точнее горение случайной среды или просто KPZ)
#ls #math

Рассмотрим липкий тетрис, а именно будем сверху кидать по одному кубику так, что он может прилипать к уже упавшим рядом кубикам. Далее нас будет интересовать флуктуации высоты δh получающейся структуры, и нет, они не гауссовы и не ~t^1/2. Оказывается δh ~ t^1/3, и является тоже достаточно общей историей для взаимодействующих частиц.

Например, если в рамках одномерной цепочки спинов нас будет интересовать расплывание доменной границы при достаточно высокой температуре, тоже увидим во флуктуациях ту же 1/3.

P.S. Еще важным показателем происходящего является скоррелированность высоты различных столбиков, которая растёт по t^2/3.

P.S.S. Вообще за решения этой системы в 2014 году Хайрер получил филдса, да и Паризи в 2021 нобелевку — достаточно занятная система)

Диффузия
#exp

Капнули краской в воду, частички начнут потихоньку расплываться. В случайных блужданиях
〈r²〉~ t
, а значит и площадь в которую расплывается капелька должна быть ~t, что, собственно, и наблюдается)

P.S. к слову, угол наклона зависит от температуры, что было бы в дальнейшем интересно измерить)

О том как течёт вода 🌊 (почти)
#ls

Вообще потенциал Леннарда-Джонса не даёт водичку в привычном её виде, но зато позволяет получить достаточно простую систему частиц, фазовая диаграмма которых содержит твёрдое, жидкое и газообразное состояние)

P.S. сейчас получились скорее очень жесткие шарики, если поиграться со степенями в потенциале (это, кстати, называется потенциалом Ми), можно получить что-то более похожее на жидкость (см. комментарии)

Почти кипение 💧
(ещё далеко, но идея примерно такая)
#ls

Для начала поправим предыдущую модель следующим образом: пусть снизу будут частички, которым нужно наверх, а сверху, которым нужно вниз. Рано или поздно случится то что должно случиться, что и называется неустойчивостю Рэлея-Тейлора.

Простой кубик 🎲
#math

Давайте бросать кубик D6, пока сумма бросков не даст простое число. Сколько в среднем бросков нам предстоит сделать? Может повезет сразу, и выпадет 2,3,5, но возможно придётся кидать кубик ещё и ещё. Интересно посмотреть на распределение длительности серий. Собственно, есть теорема о распределении простых чисел: вероятность на отрезке от 1 до n попасть в простое число ~ 1/log[n], точнее функция распределения ~ n/log[n]. Тогда по идее длительность серии в n бросков ~ exp(-n/log[n]), что в принципе и наблюдается)

P.S. а средняя длительность серии равна 2.4 и вроде это аналитически считается)
P.P.S. возможно это подгон, истину можно проверить в этой статье, но выглядит вроде убедительно

Как будто бы уже можно и обновить аватарку группы, хочется узнать какая вам больше нравится)

Монетка: случайность и механический детерменизм
#ls #ds@qdiag #math@qdiag

Уроним с некоторой высоты h одномерную монетку, сделаем это несколько раз немного изменив изнчальный угол наклона φ. Собственно, наблюдается определенная чувствительность к начальным условиям, что и позволяет нам моделировать случайные процессы подбрасыванием кубика или монетки)

P.S. в комментариях прикреплена разметка среза фазового пространства (h, φ) по результатам броска

Модель Изинга для антиферромагнетика
#ising

Без учёта диагональных соседей проекции спинов выстраиваются в шахматную доску внутри доменов. При переходе через границу домена доска как бы инвертируется, что можно пронаблюдать, добавив к картинке обычную шахматную доску.

При учёте диагональных соседей проекции спинов выстраиваются в горизонтальные/вертикальные линии внутри доменов. Границы доменов хорошо видно, если добавить к картинке саму себя со сдвигом на ячейку

Как и в случае с ферромагнетиком, есть температура, при которой пропадает/появляется доменная структура

Пиннинг доменной границы на вакансиях ✨
#ising

Давайте снова в Изинга, зафиксируем нижний ряд спином ↓, верхний ряд спином ↑, и случайно закинем штук 10 вмороженных вакансий (дырок ~ спин 0). Можно заметить, что доменная граница цепляется за вакансии, что по-моему весьма примечательно с учётом их небольшого количества)

P.S. очень рекомендую в комментариях глянуть на усредненную версию этой картинки — особенно явно видно зацепление))

P.P.S. Есть несколько развитий сюжета с вакансиями в Изинге, например подвижные дырки сильно отличаются во влияние на термодинамику системы (неподвижные кроме пиннинга как будто бы только уменьшают критическую температуру, а вот подвижные по идее добавляют ферромагнетику фрустрации), если вам было бы интересно что-то такое посмотреть, то ставьте 👀

Модель Изинга каждый день, Магнитная память!
#ising

Сделаем квадратную решётку примесей со спином 0, на них будет пиннинг границ доменов. Из-за пиннинга домены будут квадратными, локализованными внутри квадратиков, ограниченных примесями.

Сторону квадратика выберем чуть больше двух радиусов корреляции между спинами(R~20, сторона=50). Тогда внутри квадратика спины будут скоррелированы, а спины из соседних квадратиков - нет -> есть хранение информации.

Включим в некоторых квадратиках магнитное поле(знак поля генерируется случайно), квадратики изменят намагниченность в соответствии с полем. Получим способ записи информации в магнитные домены -> магнитную память)

Функция простых чисел 2️⃣, 3️⃣, 5️⃣
#math

Посмотрим на дзета-функцию Римана ζ(s), которая определяется суммой такого ряда для s>1 и аналитически продолжается на комплексную плоскость. Посмотрим на её нули в правой полуплоскости с вещественной частью равной 1/2 (а других вроде и нет), их мнимая часть образует так называемый спектр ζ(s). Составим из них функцию f(x), для первых 20 нулей.

Ура, получилась функция с максимумами в простых числах))

Перевёрнутый маятник и швейная машинка Капицы
#exp

Сегодня день Владимира Игоревича Арнольда, посвященный его 86-му дню рождения. Владимир Игоревич был замечательным математиком и физиком (а математика это часть физики).

Именно с его математических методов классической механики я когда-то влюбился в теормех, а его открытость к экспериментальному исследованию различных явлений (очень рекомендую просто послушать что-то такое или такое) во многом вдохновила на текущий вид этой группы)

Собственно, прикрепляю графичек для нескольких изначально близких траекторий перевёрнутого маятника с подвижным подвесом, который описывается уравнением с картинки, и устойчивость которого является достаточно нетривиальным вопросом, а он может быть устойчив в перевёрнутом положение! Прекрасное доказательство этого замечательного факта можно увидеть в руках Владимира Игоревича здесь, а заодно и услышать удивительную историю)

Кубик Рубика
#math

Вы взяли кубик Рубика, достаточно долго его крутили, бесконечно долго, и в какой-то момент решили остановиться. Если верить, что все позиции равновероятны, то получится такое распределение вероятности по расстоянию d до собранного состояния.


P.S. данные взяты из статьи 2013 года, в которой и сообщалось, о том что число Бога равно 20)

P.P.S. для наглядности в комментариях прикрепляю график не в логарифмическом масштабе

Компактный путь к истине
#qm

Решать дифф. ур. это то же самое, что и считать свёртки матриц!) Действительно, возьмём какую-нибудь матрицу M, и свернём с ядром
1+{{0,1,0},{1,-4,1},{0,1,0}} 𝛿/i
свернём много раз. Поздравляю, вы решили уравнение Шрёдингера на плоскости с начальным условием M. Действительно, для
i ∂_t Ψ = ∇² Ψ
можно взять дискретный оператор Лапласа и прийти к нашей процедуре свёртки.

Это очень удобный взгляд, так как сворачивать матрицы мы умеем очень быстро, да и работать в 1D, 2D, 3D, ... для разных разностных схем получается очень компактно.

P.S. в комментариях прикрепляю аналогичное решение Шрёдингера в 3D и блокнот WM)

Мыльная плёнка на кубе из проволоки принимает неожиданную форму, нарушающую симметрию куба.