Уравнение Гросса — Питаевского
#qm

Если рассмотреть линейное уравнение Шрёдингера для бозе-конденсата с отталкиванием, то получится нелинейное уравнение Шрёдингера — уравнение Гросса-Питаевского. Посмотрим на их отличие на примере столкновения двух когерентных состояний (два волновых пакета), когда очень явно видно отталкивание и последствия нелинейности)

P.S. блокнотик для вычисления тот же, что и для модели Курамото, см. в комментариях

P.P.S. Ребята, Я так вам благодарен, что могу дробнуть какую-то штуку в три часа ночи, и сразу найдутся люди, которые такие "да, давай!")

Локализация Андерсона на примере Aubry–André model
#qm

Рассмотрим решётку, в которой находятся частицы (фермионы или бозоны не принципиально). Частицы могут туннелировать, из одного узла в другой, время туннелирования задаёт масштаб времени τ и масштаб энергии J=ℏ/τ. Добавим каждому узлу решётки случайную добавку ~ W. Система совершает фазовый переход по безразмерному параметру W/J.

Рассмотрим одномерную решетку, в центре посадим частицу, подождём достаточно долго. Забавный факт — частица начиная с некоторого значения W/J останется на месте!

P.S. На первых двух картинка по вертикали вниз отложено время, по горизонтали узлы решетки, цветом обозначена вероятность обнаружить частицу. На третьей картинке отображена вероятность обнаружить частицу в определенном узле при t»τ.

P.P.S. Принципиально важно, что речь не просто про замедление туннелирования, а именно про сохранение информации о начальном распределение на бесконечно большом t)

Alea Iacta Est
(всегда ли можно решить?)
#game

Есть такая милая головоломка под названием Alea Iacta Est: поле 7x7 с цифрами от 0 до 6, представляет из себя магический квадрат. Вы бросаете 6 кубиков, выставляете их на соответствующие циферки как выберете. Дальше у вас есть набор фигурок суммарной площадью 42 клетки, которые нужно разместить в оставшееся место.

Собственно можно ли как-то эффективно, кроме полного рекурсивного перебора по последовательному расположению каждой детальки, искать подходящую раскладку?

P.S. Полный перебор с охапкой эвристик получается не таким затратным и за пару минут подходящие раскладки находит, и можно быстрее, но всё же)

P.P.S. К слову, если разрешить перемещать кубики, то можно задаться вопросом о существовании решения для каждого броска. Всего бросков 462, так что по идее грубой силой можно доказать)

Восход луны
#exp

А вы обращали когда-нибудь внимание, что восходы и закаты случаются не только с Солнцем, но и с Луной?) Если да, и вдруг становилось интересно, на сколько в RGB разложение меняется R-компонента, то на небольшом временном промежутке (1 час) примерно так:

P.S. собственно да, у горизонта луна более красная, так как длинноволновый красный свет хуже рассеивается, лучше до нас долетает. Когда луна поднимается над горизонтом лучики меньший путь проходят через атмосферу, рассеивается света меньше, смещение в красный диапазон уменьшается.

О том как плавает рыба 🐟 (модель Вичека)
#ls

Есть такая очаровательная модель, описывающая фазовый переход от неупорядоченного движения к формированию стаи: движение рыб, направление скорости которых формируется их окружением в пределах некоторого радиуса, с добавкой случайного шума на каждом шаге эволюции. Влияющие друг на друга рыбки соединены линиями, треугольники и цвет указывают направление. При достаточной плотности рыбок и относительно небольшом шуме со временем формируются стайки!)

P.S. аналогичный эффект можно моделировать активным Изингом и, наверно, Хаббардом, хотя по последнему статей не нашёл.

Про мнимую часть вектора Поитинга

Комплексно-значеный вектор Поинтига задается как
Π = ½ E* x H
Его физический смысл с первого взгляда очень понятен — наблюдаемая величина, которая соответствует реально-значному вектору Поитинга соответсвует Re(Π). То есть его действительная часть имеет смысл потока энергии. Но что значит его мнимая часть? Она может появляться, например, в оптомеханике при рассмотрении оптической силы на малую частицу и, значит, является вполне измеримой величиной!

Джексон в своем трактате классическая электродинамика пишет, что это "alternating flow of the stored energy". Но что именно это значит, можно понять, если рассмотреть стоячую волну. В среднем за период переноса энергии там нет, но за период вся энергия волны сидит то в электрической части, то в магнитной. И вот, как показано на гифке, энергия перетекает (alternates) туда обратно. Получается, что Im(Π) как раз таки и показывает этот переменный "ветер" между узлами в стоячей волне.

SoME3

До 18 августа проходит конкурс от 3b1b в сторону научно-популярной видяшки по математике/физике/DL/... — на самом деле что угодно, хоть как-то относящееся к математике. Если у вас есть какие-нибудь идеи, которые можно было бы облечь в форму рассказа и есть желание в эту сторону — пишите!) Если что поможем разобраться с визуализацией, сделать какую-нибудь симуляцию, может быть просто решим помочь вашей идеи принять форму чего-то лежащего на youtube)

P.S. первая видяшка, которую делал в manim для привлечения внимания)

Цветочек 🌸
(или симуляция роста кристаллов методом ограниченной диффузией агрегации, DLA)
#ls

Пусть есть некоторая точка, к которой прилипают частицы. Частицы случайным блужданиями до этой точки добираются, потихоньку формируя фрактрал размерности 1.7 (2.5 для кубической решётки), который и представлен на картинке. Цветом обозначено время, когда частичка прилипла к кристаллу.

Если же заменить исходную точку на линию, то получится представленная чуть ниже очаровательная древовидная структура)

Локализация Андерсона
#qm

Рассмотрим гармоническую ловушку с решёткой внутри, для которой смотрим на модель Бозе-Хаббарда с выключенным взаимодействием (одночастичная задача). Добавим к каждому узлу решётки случайную добавку. Сбоку ловушки поселим частички и посмотрим как они будут эволюционировать. Здесь представлены три случая: слабый шум, средний шум, сильный шум. Собственно для слабого шума частички будут просто на нём рассеиваться и со временем заполнят всю ловушку. А вот для других двух картинок случается локализация, итоговое состояния системы зависит от начальных условий, волновая функция локализуется!

P.S. Здесь рассматривалась решётка 100x100 с усреднением по 50 различным эволюциям в разном шуме. Формально симуляция повторяет (только без взаимодействия) этот эксперимент.

Снова о рыбках 🐟🐟
#ls

В природе им не очень прикольно врезаться друг в друга, но и расплываться далеко опасно, поэтому логично к модели Вичека навесить что-то вроде потенциала Леннарда-Джонса. Забавно, что получилось это сделать феноменологически, сохраняя движение с постоянной по модулю скоростью, теперь можно наблюдать что-то вроде кристаллизации стайки рыбок)

О том как горит пух 🔥
(точнее горение случайной среды или просто KPZ)
#ls #math

Рассмотрим липкий тетрис, а именно будем сверху кидать по одному кубику так, что он может прилипать к уже упавшим рядом кубикам. Далее нас будет интересовать флуктуации высоты δh получающейся структуры, и нет, они не гауссовы и не ~t^1/2. Оказывается δh ~ t^1/3, и является тоже достаточно общей историей для взаимодействующих частиц.

Например, если в рамках одномерной цепочки спинов нас будет интересовать расплывание доменной границы при достаточно высокой температуре, тоже увидим во флуктуациях ту же 1/3.

P.S. Еще важным показателем происходящего является скоррелированность высоты различных столбиков, которая растёт по t^2/3.

P.S.S. Вообще за решения этой системы в 2014 году Хайрер получил филдса, да и Паризи в 2021 нобелевку — достаточно занятная система)

Диффузия
#exp

Капнули краской в воду, частички начнут потихоньку расплываться. В случайных блужданиях
〈r²〉~ t
, а значит и площадь в которую расплывается капелька должна быть ~t, что, собственно, и наблюдается)

P.S. к слову, угол наклона зависит от температуры, что было бы в дальнейшем интересно измерить)

О том как течёт вода 🌊 (почти)
#ls

Вообще потенциал Леннарда-Джонса не даёт водичку в привычном её виде, но зато позволяет получить достаточно простую систему частиц, фазовая диаграмма которых содержит твёрдое, жидкое и газообразное состояние)

P.S. сейчас получились скорее очень жесткие шарики, если поиграться со степенями в потенциале (это, кстати, называется потенциалом Ми), можно получить что-то более похожее на жидкость (см. комментарии)

Почти кипение 💧
(ещё далеко, но идея примерно такая)
#ls

Для начала поправим предыдущую модель следующим образом: пусть снизу будут частички, которым нужно наверх, а сверху, которым нужно вниз. Рано или поздно случится то что должно случиться, что и называется неустойчивостю Рэлея-Тейлора.

Простой кубик 🎲
#math

Давайте бросать кубик D6, пока сумма бросков не даст простое число. Сколько в среднем бросков нам предстоит сделать? Может повезет сразу, и выпадет 2,3,5, но возможно придётся кидать кубик ещё и ещё. Интересно посмотреть на распределение длительности серий. Собственно, есть теорема о распределении простых чисел: вероятность на отрезке от 1 до n попасть в простое число ~ 1/log[n], точнее функция распределения ~ n/log[n]. Тогда по идее длительность серии в n бросков ~ exp(-n/log[n]), что в принципе и наблюдается)

P.S. а средняя длительность серии равна 2.4 и вроде это аналитически считается)
P.P.S. возможно это подгон, истину можно проверить в этой статье, но выглядит вроде убедительно

Как будто бы уже можно и обновить аватарку группы, хочется узнать какая вам больше нравится)

Монетка: случайность и механический детерменизм
#ls #ds@qdiag #math@qdiag

Уроним с некоторой высоты h одномерную монетку, сделаем это несколько раз немного изменив изнчальный угол наклона φ. Собственно, наблюдается определенная чувствительность к начальным условиям, что и позволяет нам моделировать случайные процессы подбрасыванием кубика или монетки)

P.S. в комментариях прикреплена разметка среза фазового пространства (h, φ) по результатам броска

Модель Изинга для антиферромагнетика
#ising

Без учёта диагональных соседей проекции спинов выстраиваются в шахматную доску внутри доменов. При переходе через границу домена доска как бы инвертируется, что можно пронаблюдать, добавив к картинке обычную шахматную доску.

При учёте диагональных соседей проекции спинов выстраиваются в горизонтальные/вертикальные линии внутри доменов. Границы доменов хорошо видно, если добавить к картинке саму себя со сдвигом на ячейку

Как и в случае с ферромагнетиком, есть температура, при которой пропадает/появляется доменная структура

Пиннинг доменной границы на вакансиях ✨
#ising

Давайте снова в Изинга, зафиксируем нижний ряд спином ↓, верхний ряд спином ↑, и случайно закинем штук 10 вмороженных вакансий (дырок ~ спин 0). Можно заметить, что доменная граница цепляется за вакансии, что по-моему весьма примечательно с учётом их небольшого количества)

P.S. очень рекомендую в комментариях глянуть на усредненную версию этой картинки — особенно явно видно зацепление))

P.P.S. Есть несколько развитий сюжета с вакансиями в Изинге, например подвижные дырки сильно отличаются во влияние на термодинамику системы (неподвижные кроме пиннинга как будто бы только уменьшают критическую температуру, а вот подвижные по идее добавляют ферромагнетику фрустрации), если вам было бы интересно что-то такое посмотреть, то ставьте 👀