Для тех, кому не спится. Задача про пересекающиеся эллипсы.

Задача от Jean-Louis Ayme

Задача с израильского TST.

Хорошо известно, что биссектрисы внутренних углов вписанного четырехугольника ограничивают вписанный четырехугольник. Биссектрисы внешних углов — тоже ограничивают вписанный четырехугольник. Докажите, что центр описанной окружности исходного четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего центры описанных окружностей четырехугольников, ограниченных биссектрисами.

Кстати, для треугольника вам такое утверждение, наверное, хорошо известно)

Задача с какого-то корейского мероприятия... Кажется решается с помощью той леммы, которая была пару постов назад

Когда-то уже постил эту задачу, но она мне очень нравится, и она подходит тем, кто только начинает свой путь в геометрии, так что не жаль и повторить...

Зеленый четырехугольник — параллелограмм, нижняя вершина — середина стороны треугольника. Доказать, что верхняя лежит на биссектрисе.

Подсмотрено в фейсбуке. Доказать, что OA=OB

Автор Thanos Kalogerakis

Одна из моих любимых задач со всероссийских олимпиад в этом году заиграла для меня новыми красками.

На сторонах треугольника построены квадраты. Надо доказать, что красная точка лежит на симедиане треугольника.

Так вот, оказывается, это ни что иное, как точка Болтая.

Факт из разряда почему я этого не знал. Красивое.

Задача со второго этапа польской национальной олимпиады. Дано много равных пар углов и один прямой. Доказать, что точки лежат на одной прямой.

И еще одна задача оттуда же, несколько разочаровывающая...

Из слегка недоброго...

В треугольник вписан эллипс, касающийся сторон в серединах (вписанный эллипс Штейнера). Докажите, что фокусы эллипса и точки Торричелли треугольника являются вершинами гармонического четырехугольника.

Докажите, что сумма длин синих отрезков равна сумме длин красных

UPD: это неверное утверждение

O — центр описанной окружности треугольника ABC, L — его точка Лемуана. Окружность с диаметром OL пересекает сторону BC в двух точках. Докажите, что красные углы равны.

Вось вам прывітанне з Польшчы ад Андрэя Кармановіча.

upd: баян

Странные задачи иногда придумываются... Сегодня вот такая...

В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Точки D и E — центры окружностей девяти точек треугольников ABI и ACI соответственно. DE пересекает BC в точке F. Докажите, что точки F, E, I, C лежат на одной окружности.

Оказывается, существует окружность, касающаяся высот треугольника BE и CF и окружностей (ABC) и (AEF).

Задача про вневписанные окружности и полувписанную.