1. Ваше сообщение хешируется алгоритмом по ГОСТ Р 34.11-2012.
2. Для создания подписи используется ЭЦП по ГОСТ Р 34.10-2012.
3. Все математические операции выполняются на одной из стандартизированных кривых из Р 1323565.1.024-2019.

На самом деле эти стандарты используются везде, где происходит цифровой государственный документооборот: Госуслуги, ФНС, торговые площадки (если нужна квалифицированная подпись)... Так что теперь, дистанционно подписывая очередной документ, можете мысленно поблагодарить эллиптические кривые (и соответствующие стандарты) за их существование.

На этом всё.

#ёжик_пишет
#элементарная_тч
#криптография

Эллиптические кривые по ГОСТу
(Электронная цифровая подпись)

В прошлый раз (https://vk.com/wall-186208863_60997) мы разобрались, как устроена арифметика на эллиптических кривых и почему она так полюбилась криптографам — благодаря чудовищной сложности обратной задачи (ECDLP). Сегодня пришло время посмотреть, как вся эта математика воплощается в одном из главных приложений — электронной цифровой подписи (ЭЦП), а именно по версии нашего родного ГОСТ Р 34.10-2012.

Сразу отмечу, ЭЦП — это не про шифрование сообщения, а про доказательство того, что сообщение подписали именно вы. Эллиптические кривые — идеальный инструмент для создания компактных и сверхстойких подписей.

Как кривая подписывает сообщения?

Вспомним общую схему:

• Параметры (a, b, p, P, q), где а и b — коэффициенты уравнения y² = x³ + ax + b эллиптической кривой, p — большое простое число (по модулю которого мы складываем точки), q — порядок циклической подгруппы группы точек кривой (в частности, q делит мощность всей группы точек), P — точка на этой кривой. Всё это публичная информация (т. е. её могут узнать);
• Закрытый ключ (d) — секретное большое число от 1 до q-1;
• Открытый ключ (Q) — точка на кривой, рассчитанная как Q = dP.

Этап 1: Генерация подписи.

Допустим, Алиса хочет подписать сообщение M:

1) Хеширование. Всё начинается с превращения текста в конечное число — сообщение M пропускается через хеш-функцию по ГОСТ Р 34.11-2012. На выходе — 256 или 512 бит (смотря какой уровень стойкости нужен). Получившийся хеш H преобразуется в число e. Все это нужно, чтобы работать с сообщением удобной длины в дальнейшем. Не будем останавливаться на работе хеш-функции.
2) Алиса генерирует случайное число k в диапазоне от 1 до q-1. Важно: k должно быть уникальным для каждой подписи — иначе злоумышленник сможет с легкостью вычислить её закрытый ключ.
3) Вычисляется точка кривой C = kP. Пусть x_C — её первая координата. Если r = x_C mod q оказалось нулём (что плохо), генерируем k заново.
4) Вычисляем число s = (rd + ke) mod q. Если s = 0, то снова переделываем k.

Полученная пара ненулевых чисел (r, s) — это и есть электронная подпись Алисы для сообщения M. Эти два числа отправляются вместе с исходным текстом Бобу.

Этап 2: Проверка подписи.

Теперь Боб получает сообщение M' и подпись (r', s'). У него есть вся открытая информация. Его задача — убедиться, что сообщение действительно от Алисы и нетронуто:

1) Сначала Боб проверяет, что числа r' и s' лежат в правильном диапазоне (от 1 до q-1). Если нет, то подпись бракуется.
2) Боб самостоятельно вычисляет хеш H' = H(M') и преобразует его в число e', точно так же, как это делала Алиса.
3) Боб вычисляет вспомогательные величины:
· v = (e')⁻¹ mod q (т. е. ve' = 1 по модулю q);
· z₁ = s'v mod q;
· z₂ = -r'v mod q.
4) Теперь Боб находит C' = z₁P + z₂Q. Из-за ассоциативности сложения точек (вспомните, как мы определили умножение на скаляр) C' = (z₁ + z₂d)P. Если подставить сюда выражения для z₁ и z₂, а потом учесть, что для правильной подписи верно: s' = (r'd + ke'), то после сокращений получим: C' = kP. Но kP — это та самая точка C, которую вычисляла Алиса на шаге 3. Следовательно, координата x точки C' должна(!) совпасть с исходным числом:
5) Боб вычисляет R = x_C' mod q. Если R = r', подпись признается подлинной (и только в этом случае). Конец.

Этап 0: Как подобрать параметры?

Пока мы говорили об алгоритмах, но для практического использования нужны конкретные, проверенные параметры (a, b, p, P, q) кривых. Здесь на сцену выходит Р 1323565.1.024-2019. Это каталог готовых и сертифицированных чисел для обеспечения криптографической стойкости 256 или 512 бит.

Где это всё работает в реальной жизни?

Прямо сейчас! Описанная процедура является основой для квалифицированной электронной подписи в России. Пример, с которым вы могли сталкиваться, — сервис Госключ.

Когда вы подписываете документ через него (это вы найдете в справке/настройках программы):

Дорогие любители математического анализа!
Предлагаю вам перед сном вспомнить одну замечательную теорему и поговорить о способах её доказательства))

vk.com/@mathhedgehog-teorema-arcela

#ёжик_пишет
#математический_анализ

Дорогие коллеги!

Наверное, ни для кого не секрет, что наша видеокоманда снимает исключительно лекции и семинарские занятия по математике?? На самом деле — нет. В этом семестре студенты попросили меня снять их лекции по статистической физике, которые на нашем факультете читает обаятельный молодой человек с физфака, Кирилл Сергеевич Григорьев. Кирилла было не очень просто уговорить, но в конце концов у меня это получилось. Поэтому теперь зрители нашего канала могут слушать и замечательные лекции по статистической физике)

За записи огромное спасибо нашим студентам-операторам [id417636600|Сергею Церенгу] и [id252537766|Матвею Глазунову]! Т. к. Кирилл Сергеевич постоянно переключается между доской и презентацией, то Серёжа и Матвей показывают чудеса ловкости, чтобы заснять и то, и то :)

Ссылка на Playlist: https://vkvideo.ru/playlist/-186208863_139

Лекция 1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244286
Лекция 2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244291
Лекция 3: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244294
Лекция 4: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244351
Лекция 5: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244358
Лекция 6: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244423
Лекция 7: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244430
Лекция 8: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244435
Лекция 9: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244461
Лекция 10: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244471
Лекция 11: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244526
Лекция 12: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244533
Лекция 13: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244540

#колючие_лекции
#физика

ЕГЭ по профильной математике. Конструктивная критика.
Добрый вечер, дорогие читатели! В нашем сообществе, пожалуй, найдется мало людей, кого не касаются эти 3 буквы. ЕГЭ затрагивает всех: школьников, родителей, учителей в школе, преподавателей в ВУЗах, репетиторов. Все говорят много и по-разному. В этой статье попробуем разобраться в реальных плюсах и реальных минусах профиля.

Подготовка📒
+ Кому надо 70-80 баллов можно особо не напрягаться: слушай на уроках в школе, разбери 2 типовые задачки из второй части.
- Тем, кто хочет заработать высокий балл, нужно научиться думать. Да, да, ЕГЭ давно перестал быть предсказуемым шаблоном, каждый год школьников пытаются удивить чем-то новеньким и обычно неприятным. Поэтому система с нарешиванием шаблонов не прокатит. Обычно думать у нас учат в институте («цель образования – научить самостоятельно думать»), в школах такими навыками не балуют. Ты или гений, или ходишь к репетитору. А чему можно научиться за 2-4 часа в неделю? Сидеть в местах дополнительного образования нужно днями и ночами, вопрос когда, ведь у нас есть школа, в которой по 7-9 уроков обязаловки и куча внеурочки.
- В большинстве школ готовят к базе, в лучшем случае к первой части профиля. Есть индивиды утверждающие, что все было пройдено в течение 11 лет обучения, и твои проблемы, что ты февральскую тему из 7 класса не помнишь. Но давайте начнем с того, что 2 задания (из 7) второй части вообще в школьной программе не наблюдаются. Параметры – ознакомительная (да там квадратное уравнение разбирается) майская тема, когда кто угодно подтвердит, что начинать поздно. Теорию чисел в непрофильных учебниках в глаза не видели.

Время экзамена: 3 часа 55 минут⌛️
+ Активно думать, находится в условиях сильнейшего стресса, без нормального питания и других условий – больше отведенного времени точно следует.
- У всех мыслительные процессы устроены по-разному: кто-то решает задачу 5 минут, кто-то 25 минут. Это не значит, что первый умнее второго. Может даже наоборот. А с этим ограничением по времени мы что имеем: умные дети, планирующие решить все, торопятся – делают глупые ошибки, думают об оставшемся времени, а не о задачах, а может и вообще не успеют все решить. Снова получаем искаженные результаты.

Структура и содержание🌙
+ Экзамен многофункционален, проверяются все изученные и неизученные темы: навыки вычисления, решение уравнений и неравенств, планиметрия и стереометрия, векторы, теория вероятностей, текстовые задачи, графики, производная, экономические задачи, параметры и даже теория чисел.
- Солидный получается список. Между всем этим нужно успешно переключаться в течение всего лишь 4 часов, желательно также все проверить и несколько раз. Мозг большинства школьников (да и взрослого человека) такую нагрузку не выдержит, а это ведь выпускной экзамен для всех, а не международная математическая олимпиада для гениев.
- Экзамен неравный. Есть первая часть – уровень ОГЭ или 3 за 11 класс и вторая – уровень олимпиад. Про разбалловку этой красоты поговорим чуть позже.

Сложность💡
+ Экзамен посилен всем (про базовую математику даже заикаться не буду, это что угодно, только не выпускной экзамен для 11-классника): есть первая часть – на 3, а остальное на уровни повыше.
- Наличие первой части сильно сбивает с толку тех, кто пришел решать вторую. Средние баллы по ЕГЭ у нас держат в районе 50-60. Делаем вывод, что составители обязательно вставят в первую часть каких-нибудь ловушек. В итоге какая картина: дети, пришедшие решать все задания, теряют время на
внимательном чтении условий и проверке ответов в первой части, а если что-то упустят, то потом и пары баллов лишатся. Половина заданий первой части вообще в экзамене находиться не достойны, особенно при наличии таких «крутых» вторых. Тут или делать примерно одинаковую сложность или убирать что-то из 1 или 2.

Разбалловка🔑
+ Для детей незнающих математику шкала перевода просто отличная.
+ Сделай 2 ошибки – все равно получи 100 баллов.
- Вспоминаем о сложности первой и второй части – 70 и 30 баллов соответственно. Никому не кажется, что должно быть наоброт?
- Оценка самих заданий. Разве можно оценивая уравнение типа (х-9)/(х-3)=4 в 1 балл, оценивать задачу по стереометрии с доказательством и вычислительной частью 3 баллами. А сделаешь вычислительную ошибку в каком-нибудь десятом действии вообще 2 получишь.

Результаты🏆
+ Как ни крути, но экзамен ранжирует школьников.
- Ранжирование понятно только «для своих». На большинстве других экзаменов получить 70 баллов – это действительно уровень 5. Здесь 70 – это 3, следующие 10 баллов – можно назвать 4, с 95 начинается олимпиадный уровень. Поэтому в общей картине сдачи ЕГЭ профиль не отображает реальную картину знаний.

Советы выпускникам🌟
Не переживать не получится. Поэтому:
1. Составьте план решения экзамена. С чего вы начинаете (набираете этими заданиями порог), что оставляете на фундамент (ваш персональный минимум) и что оставляете на подумать. Не обязательно начинать с первой части, можете даже специально двинуть ее на середину для разгрузки мозга, поверьте, решать подряд задания второй части – настоящее насилие над собой. И еще: обязательно оставьте время для проверки, можно его также включить в часть «отдых».
2. Продумайте свои выходы. Паника начинается ближе к концу: поесть, попить, в туалет сходить, посмотреть, проверить, подышать. Последний час экзамена по ощущениям длится в 6 раз быстрее, сосредоточиться сложно, поэтому лучше не отвлекаться, да оно и не поможет.
3. Если не можете что-то решить, вспоминайте наводящие фразы и действия репетиторов, учителей, себя любимого. Как вы в других задач искали выход.
4. С утра что-то порешайте: не просто смотрите ДВ, а решите оттуда первую часть – мозг будет просыпаться и делать зарядку не на вашем экзамене, а на чужом.
#ёжик_пишет
#подготовка_к_экзаменам
#школьная_математика

Уважаемые коллеги,

📚Представляю вашему вниманию краткий обзор учебника Multidimensional Differential and Integral Calculus свежего курса, который привлёк моё внимание своей удивительной честностью и практичностью.

Это свежий курс по многомерному анализу, написанный итальянскими преподавателями в понятном, почти разговорном стиле без тяжёлой академической надстройки, но с аккуратной математикой и большим количеством реально работающих примеров. Это не Spivak и не Apostol строгость здесь мягче, зато интуиция и вычислительная культура на месте. Авторский подход хороший тем, что сложные вещи, вроде теорем Грина, Гаусса или Стокса, появляются не как абстрактные конструкции, а как естественные инструменты, выросшие из задач.

Книга современная, структурированная и подходит тем, кто хочет быстро и внятно войти в многомерный анализ, не теряя связь с приложениями. Она честно держит уровень бакалавриата и может быть отличным рабочим пособием, если нужно укрепить понимание, а не упиваться ε–δ-формализмом. Внятный текст, хорошие примеры, ровный темп редкое сочетание для нового учебника. Если вам важно не только знать, но и уметь применять многомерный анализ, то этот курс даёт именно такой вход.

#матан #анализ #книги #math #education #учёба #математика

Я написал популярную статью, которая дает понятное и увлекательное введение в тему "уравнение Ляпунова". Здесь размещена сокращенная версия статьи - более полная на Хабре под тем же названием, прошу поставить лайк и плюс в карму там тоже.

Оцените качество изложения.

vk.com/@mathhedgehog-matematika-ravnovesiya-kak-uravnenie-lyapunova-derzhit-ves-m

#ёжик_пишет
#дифференциальные_уравнения
#оптимальное_управление
#динамические_системы
#численные_методы

Почему люди так тянутся к сложной математике?

Чем больше узнаёшь людей, тем больше удивляешься, сколько среди них странных — и прекрасных в своей странности. Стоит им увидеть слово «топология», «квантовая вероятность» или «теория категорий», как их глаза тут же загораются, пульс учащается, а внутри просыпается ощущение, будто близок миг познания самой сути Вселенной. Но стоит этим же людям столкнуться с задачей на проценты или с необходимостью понятно объяснить, что такое переменная, функция или логарифм, внутри вдруг откуда-то появляется неловкость, будто их застали врасплох. И, что забавно, даже зная об этом, многие продолжают идти именно туда, где непонятно, высоко, сумбурно, слишком трудно. Вопрос «почему так происходит?» кажется наивным, но прекрасно показывает, сколь глубока в человеке жажда смысла — и как изящно способен он обходить ради неё собственные сомнения и страхи.

Человека тянет к сложному не из желания показаться умнее окружающих. Даже наоборот: за этой тягой часто скрывается желание почувствовать себя объективно значимым, причастным к чему-то большему, чем быт и работа. Опыт показывает, что простая математика воспринимается как необходимость, как скучный долг, который надо просто выучить в школе. А сложная — как вызов, как приглашение посмотреть на мир с новых высот. Есть у людей привычка думать, что всё вдохновляющее находится далеко за пределами повседневности. Вот почему мозг совершенно естественно выбирает «красоту идей» вместо «общей грамотности». Если бы, скажем, арифметика подавалась так же ярко, как квантовые эффекты, возможно, всё было бы иначе. Но пока что мир устроен так, что базовое знание мирно пылится в углу, а абстракции подаются под яркими прожекторами, обещая незабываемое приключение.

Порой эта тяга — способ доказать себе, что человечество ещё на что-то способно. Можно не помнить формулы процентов, но желать участия в беседе о том, как устроено пространство и время. Можно не чувствовать уверенности в школьной алгебре, но пытаться понять дифференциальное исчисление. В этом нет попытки спрятать пробелы в знаниях — есть лишь попытка перепрыгнуть через ощущение собственной ограниченности. Мозг любит ощущать рост — пусть маленький, пусть мнимый, пусть мимолётный, но рост. Потому, когда кусочек сложного объяснения вдруг становится понятен, это даёт такой заряд воодушевления и уверенности, который для многих не сравнится по своей мощи ни с какой таблицей умножения.

Правда в том, что многие не боятся сложной математики так, как быть пойманными на незнании простого. Почему-то признаваться в незнании чего-то широко известного гораздо тяжелее. Сказать «не помню, как работать с дробями» для многих кажется признанием в чём-то безумно стыдном. А вот сказать «не понимаю квантовую механику» легко может практически каждый. Почти все люди, которые тянутся к абстракциям, подсознательно чувствуют, что незнание сложного гораздо менее осудительно, чем незнание простого. Сложное будто становится областью свободы, где можно проявлять любопытство и бравировать фактами без серьёзных последствий. Простое же становится пространством обязательности, где ошибки быстро катастрофизируются. Ясное дело, куда приятнее идти туда, где можно вздохнуть полной грудью.

Редко говорят и вот ещё о чём. Мозг человека невероятно чувствителен к величественному. Сложная математика обычно подаётся как язык вселенной, ключ к тайнам мироздания, инструмент для познания мира в широком смысле слова. Это звучит благородно, даже романтично. Потому, когда человек читает о теории категорий или смотрит видео, где речь ведётся, например, о бесконечности или высших размерностях пространства, он ощущает себя участником возвышенного разговора. Это превращается в культурную причастность — будто человек приобщается к тем, кто рассуждает о вечном. Даже если половина терминов ему неизвестна, сама атмосфера такого разговора уже даёт чувство ценности. А если взглянуть на арифметику — да, она нужна, полезна, но кажется слишком уж простой и приземлённой, чтобы называть её частью чего-то великого.

Бывает, что людей приводит в более сложную математику бунтарский дух. Не у всех ведь хорошие воспоминания о школе: где-то бывает и стыд, и обидные сравнения, и двойки красной ручкой, и контрольные, где даже небольшую ошибку превращали в приговор. Будучи взрослыми, люди с таким негативным школьным опытом пытаются вернуть себе право на понимание — но не там, где их когда-то унижали, а где-то выше, дальше и больше. Взрослый человек интересуется теоремами не из желания блеснуть умом перед знакомыми, а потому что хочет самостоятельно разобраться, что же такого красивого люди увидели в математике. Способна ли она быть игрой, загадкой, бескрайним миром, а не списком требований и заносчивых упрёков. Здесь сложные идеи кажутся безопаснее: их не связывают с оценками, с учителями, с нескончаемыми проверками. Они просто есть — бери сколько сможешь, радуйся, что что-то понимаешь, а если что, двойка или осуждение не грозят.

Другой мотив чисто эстетический. Сложная математика столь же красива, сколь музыка или живопись. Фракталы, симметрии, графы, геометрические преобразования — всё это вызывает восхищение, сравнимое с художественным. Подумайте: люди могут часами смотреть на визуализацию множества Мандельброта или читать про парадоксы бесконечности, будто это художественная литература. Человек тянется к прекрасному — ему приятно чувствовать красоту, даже если ей нет объяснения. И, что удивительно, эта красота доступна каждому. Можно ведь восхищаться идеей бесконечных множеств, даже не зная, как решаются квадратные уравнения. Чувство прекрасного не диктуется строгостью учебника.

Но сколько бы эти обрывочные блуждания по абстракциям ни длились, рано или поздно человек замечает, что без прочного фундамента дальше пути нет. Вот где простая математика перестаёт казаться скучной. Она вдруг становится инструментом, ведущим к пониманию более сложных конструкций. Это очень похоже на спорт: сначала хочется ставить рекорды, без устали пробегать марафоны, а потом приходит осознание, что без базовых знаний и систематических тренировок не получится ничего, кроме синяков да шишек. А после обстоятельной работы над базой сложное перестаёт быть недосягаемой вершиной — появляется чувство уверенности в каждом следующем шаге.

Интересно, что те, кто идут в сложную математику, очень редко когда-либо останавливаются. Даже если путь начинается с вдохновения и любопытства, он почти всегда приводит к укреплению основ. У каждого свой путь, и часто движение получается не линейным, как в школе — числа, переменные, функции, пределы — а эмоциональным. Человек идёт туда, куда ему хочется, и по пути сам начинает интересоваться тем, на что махнул рукой в самом начале. Этот путь естественный, мягкий, и куда гуманнее строгих учебных лестниц, где только и делают, что гонят шаг за шагом в то, до понимания чего человек мог ещё недозреть.

Уверяю вас, тяга к сложному совсем не говорит о незрелости или снобизме. Она говорит о том, что человек ищет внутреннего роста или хотя бы способа наметить его. О том, что он хочет соприкоснуться с идеями, трансформирующими мышление. О том, что он не согласен жить только серыми буднями. Да, человек иногда идёт в сложное слишком рано, не имея опоры. Иногда падает, путается, не понимает. Но сама попытка уже делает знание глубже. Сложная математика — это место, где человеку проще всего почувствовать, что его мозг сохраняет способность развиваться. Это больше про ощущение внутреннего движения, чем про знания.

Так что, если вдруг вы поймаете себя на том, что смотрите лекцию про функции Бесселя, но не можете посчитать сумму покупок в магазине — это не повод для стыда, но повод улыбнуться себе и понять: мозг просто ищет вдохновения. Он хочет жить не только обязанностями, но и мечтами. Он хочет чувствовать, что мир велик, чувствовать себя частью его бесконечной структуры. И если для этого нужно заглянуть в сложную математику раньше, чем взяты основы — ну что ж, это всё ещё движение вперёд. Красивое, неровное, человеческое. Никакие пробелы в базе не отменяют того, что тяга к сложному — это признак живости. А живость важнее безупречности.

Сегодня — жизненный мем о разных мирах математики.

Вы можете подтвердить или опровергнуть то, что я сейчас скажу, исходя из своего жизненного опыта. На мой взгляд, у чистых математиков часто встречается эдакая заносчивая предвзятость в отношении коллег, занимающихся менее абстрактной и более приземлённой математикой, которой учат в школах.

Пользуясь случаем и зная, что среди вас есть представители обеих математических когорт, задам вопрос: с чем такая предвзятость связана? Есть ли за ней какое-то весомое основание?

#ёжик_развлекается

Математикам всё понятно.
Вот почему они смотрят на религии свысока 😎

#ёжик_развлекается

Дорогие коллеги, Праздник продолжается! И сегодня у нас Праздник в квадрате, т.к. в МГУ стартовал день математика, о котором мы писали во вторник! Я только что вернулся домой после своей лекции "Введение в теорию множеств. Как посчитать бесконечность?" И во время своего рассказа я вспомнил о меме на Ёжике, который касался определения понятия "Множество". Когда-то мы публиковали данную картинку, но тогда надписи на ней, ИМХО, были менее удачными.

В последнее время, на Ёжике, даже развлекательные картинки вызывают широкие обсуждения. Эта традиция, начатая Русланом Гонтарем не может не радовать) Поэтому, давайте подумаем, а можно ли дать определение понятию "Множество"?

#ёжик_развлекается
#ёжик_дискутирует