Линия равных значений на графике.
Пусть точечный график показывает значения двух параметров некоторого процесса (события, эксперимента и т. п.). В данном случае — это pitch и diametr.
Обычно графические пакеты делают такой график непропорциональным — у него разные масштабы по осям X и Y (рис. 1).
Когда нам важно понять взаимосвязь между параметрами, стоит сделать график пропорциональным, чтобы масштаб по X совпадал с масштабом по Y (рис. 2)
Но это не всегда выглядит красиво. В нашем случае на графике появилось много ненужного свободного места, а важные данные о распределении точек сжались.
Однако выход есть. Для этого необходимо нарисовать линию равных значений, на которой первый параметр равен второму: pitch = diametr (рис. 3).
Тогда мы можем опять перейти к непропорциональному графику — линия равных значений покажет диагональ графика, а удобный масштаб позволит изучить распределение данных. (рис. 4).
Стройте графики с умом.
#ёжик_пишет
Пусть точечный график показывает значения двух параметров некоторого процесса (события, эксперимента и т. п.). В данном случае — это pitch и diametr.
Обычно графические пакеты делают такой график непропорциональным — у него разные масштабы по осям X и Y (рис. 1).
Когда нам важно понять взаимосвязь между параметрами, стоит сделать график пропорциональным, чтобы масштаб по X совпадал с масштабом по Y (рис. 2)
Но это не всегда выглядит красиво. В нашем случае на графике появилось много ненужного свободного места, а важные данные о распределении точек сжались.
Однако выход есть. Для этого необходимо нарисовать линию равных значений, на которой первый параметр равен второму: pitch = diametr (рис. 3).
Тогда мы можем опять перейти к непропорциональному графику — линия равных значений покажет диагональ графика, а удобный масштаб позволит изучить распределение данных. (рис. 4).
Стройте графики с умом.
#ёжик_пишет
❤5👍3🕊1
Об обобщённых функциях и обобщённых производных.
"Мы и так знаем, что она не имеет решения. Мы хотим понять, как её решать" (Понедельник начинается в субботу, на иллюстрации - К.Х. Хунта, сказавший эту фразу).
Вот нет у функции производных или, по меньшей мере, мы не можем утверждать, что есть - а как доказывать что-то, если опорное утверждение не доказано? Особенно это важно в области функций многих переменных и уравнений в частных производных.
Можно сразу определить слабое (обобщённое) решение: вот есть уравнение теплопроводности вида ∂u/∂t=∂²u/∂x² на отрезке. Решение должно иметь вторую производную по х. Но ведь можно умножить всё на произвольную функцию v с нулями на концах отрезка, проинтгерировать по частям и получить
∫(∂u/∂t)vdx + ∫(∂u/∂x)(∂v/∂x)dx.
Если для любой функции v (достаточно приличной, чтоб всё "можно" было) тождество истинно, то это и есть обобщённое решение. Если у него есть вторая производная по х, то оно решение, а если нет, то не беда.
Можно тот же трюк и для одной переменной проделать: вместо y'=f(x,y), x(0)=A напишем
y(x) = A + ∫f(s,x(s))ds, пределы от 0 до x.
На y теперь вообще никаких ограничений не накладывается, дифференцируемости уж точно.
Если f(x) разрывная, с разрывами 1 рода, уравнение вообще смысла не имеет, так как производная не может иметь разрывы первого рода. Но обобщённое решение есть, какие проблемы. Вот возьмите ступеньку, 1 при х>0, 0 иначе, и функция y(x), равная А левее нуля и А+х правее, решение.
Но можно определить обобщённую производную, принцип ровно тот же: обобщённая производная по х от u(x,...) это такая функция U, что
∫Uvdx = -∫u(∂v/∂x)dx для любой функции v, которая имеет производную и ещё кое-что. Либо у неё нули на границе области, если Вам ничего не надо, кроме этой области, либо она нуль вне какого-то компакта, либо быстро убывает на бесконечности, либо ещё что-нибудь, например, можно периодические функции рассматривать.
Обобщённые производные определяются любых порядков, причём они не всегда существуют, а ещё могут существовать старшие без младших. Например, функция sgn(x)+sgn(y) имеет обобщённую смешанную производную, равную нулю, но не имеет первых обобщённых производных.
Для одной переменной тоже можно определить обобщённую производную, например, как функцию, для которой данная является первообразной. У модуля обобщённая производная есть, это sgn(x), но она не единственная, конечно - хотя "почти всюду" они совпадают. Второй же обобщённой производной у модуля нет.
Теория обобщённых функций (распределений) это немного другое, хотя по идее тоже похоже. Там изначально функции определяются как линейные непрерывные функционалы на множестве очень хороших функций: бесконечно дифференцируемых и финитных: нуль вне некоторого компакта. Чем меньше функций, тем больше функционалов на них. Обычные функции f (не все!) задают функционалы по правилу
∫fudx, но есть функционалы, которые так не задаются, например v(0) - знаменитая дельта-функция. Но можно записывать чисто формально и их так: ∫δ(х)u(х)dx это u(0).
Для них есть понятие производной, которое чисто текстуально совпадает с нашим выше:
∫f'(х)(х)udx = -∫f(х)u'(х)dx
Всё это для любой финитной u, разумеется. Это всё для любого числа переменных, но далее пусть будет одна для простоты.
У модуля как обобщённой функции производная есть, это sgn(x), который тоже как обобщённая функция. Есть и вторая производная, она же первая от sgn, это 2δ: всюду 0 кроме точки 0, но интеграл равен 2. Что такое интеграл от 2δ? Это формально ∫2δ(х)u(х)dx = 2∫δ(х)u(х)dx = 2u(0).По определению, это должно совпадать с интегралом от sgn(x)u'(x); он разбивается на два, от -u' от минус-бесконечности до 0 и от u' от 0 до бесконечности. В бесконечности u равна нулю (вне компакта точно). Пo формуле Ньютона-Лейбница приходим к 2u(0).
Третья производная у модуля тоже есть, если мы работаем в обобщённых функциях. Все производные есть.
"Мы и так знаем, что она не имеет решения. Мы хотим понять, как её решать" (Понедельник начинается в субботу, на иллюстрации - К.Х. Хунта, сказавший эту фразу).
Вот нет у функции производных или, по меньшей мере, мы не можем утверждать, что есть - а как доказывать что-то, если опорное утверждение не доказано? Особенно это важно в области функций многих переменных и уравнений в частных производных.
Можно сразу определить слабое (обобщённое) решение: вот есть уравнение теплопроводности вида ∂u/∂t=∂²u/∂x² на отрезке. Решение должно иметь вторую производную по х. Но ведь можно умножить всё на произвольную функцию v с нулями на концах отрезка, проинтгерировать по частям и получить
∫(∂u/∂t)vdx + ∫(∂u/∂x)(∂v/∂x)dx.
Если для любой функции v (достаточно приличной, чтоб всё "можно" было) тождество истинно, то это и есть обобщённое решение. Если у него есть вторая производная по х, то оно решение, а если нет, то не беда.
Можно тот же трюк и для одной переменной проделать: вместо y'=f(x,y), x(0)=A напишем
y(x) = A + ∫f(s,x(s))ds, пределы от 0 до x.
На y теперь вообще никаких ограничений не накладывается, дифференцируемости уж точно.
Если f(x) разрывная, с разрывами 1 рода, уравнение вообще смысла не имеет, так как производная не может иметь разрывы первого рода. Но обобщённое решение есть, какие проблемы. Вот возьмите ступеньку, 1 при х>0, 0 иначе, и функция y(x), равная А левее нуля и А+х правее, решение.
Но можно определить обобщённую производную, принцип ровно тот же: обобщённая производная по х от u(x,...) это такая функция U, что
∫Uvdx = -∫u(∂v/∂x)dx для любой функции v, которая имеет производную и ещё кое-что. Либо у неё нули на границе области, если Вам ничего не надо, кроме этой области, либо она нуль вне какого-то компакта, либо быстро убывает на бесконечности, либо ещё что-нибудь, например, можно периодические функции рассматривать.
Обобщённые производные определяются любых порядков, причём они не всегда существуют, а ещё могут существовать старшие без младших. Например, функция sgn(x)+sgn(y) имеет обобщённую смешанную производную, равную нулю, но не имеет первых обобщённых производных.
Для одной переменной тоже можно определить обобщённую производную, например, как функцию, для которой данная является первообразной. У модуля обобщённая производная есть, это sgn(x), но она не единственная, конечно - хотя "почти всюду" они совпадают. Второй же обобщённой производной у модуля нет.
Теория обобщённых функций (распределений) это немного другое, хотя по идее тоже похоже. Там изначально функции определяются как линейные непрерывные функционалы на множестве очень хороших функций: бесконечно дифференцируемых и финитных: нуль вне некоторого компакта. Чем меньше функций, тем больше функционалов на них. Обычные функции f (не все!) задают функционалы по правилу
∫fudx, но есть функционалы, которые так не задаются, например v(0) - знаменитая дельта-функция. Но можно записывать чисто формально и их так: ∫δ(х)u(х)dx это u(0).
Для них есть понятие производной, которое чисто текстуально совпадает с нашим выше:
∫f'(х)(х)udx = -∫f(х)u'(х)dx
Всё это для любой финитной u, разумеется. Это всё для любого числа переменных, но далее пусть будет одна для простоты.
У модуля как обобщённой функции производная есть, это sgn(x), который тоже как обобщённая функция. Есть и вторая производная, она же первая от sgn, это 2δ: всюду 0 кроме точки 0, но интеграл равен 2. Что такое интеграл от 2δ? Это формально ∫2δ(х)u(х)dx = 2∫δ(х)u(х)dx = 2u(0).По определению, это должно совпадать с интегралом от sgn(x)u'(x); он разбивается на два, от -u' от минус-бесконечности до 0 и от u' от 0 до бесконечности. В бесконечности u равна нулю (вне компакта точно). Пo формуле Ньютона-Лейбница приходим к 2u(0).
Третья производная у модуля тоже есть, если мы работаем в обобщённых функциях. Все производные есть.
👍3❤1🕊1
Все ряды суммируются (!)
Ну например, ряд Σcos(nx) суммируется как рад обобщённых функций, и сумма пропорциональна δ. В самом деле, домножим на финитную u и проинтегрировав почленно, получим ряд коэффицентов Фурье функции u (а она очень хорошая). Припишем незримо cos(n0), равные 1, и получим ряд Фурье функции u(x) в нуле (с точностью до множителя). То есть u(0). Получается, что сумма ряда действует на любую u(x) как дельта (со множителем). QED.
(Для обобщённых функций нет смысла говорить о значении в точке, но они могут равняться нулю на интервале (или совпадать на интервале). Обобщённая функция равна нулю на интервале, если этот функционал даёт нуль на любой фунции, которая равна нулю вне интервала. Дельта, например, равна нулю везде, кроме нуля: нуль не входит в область, значит u(0) должно быть 0, а дельту мы определили как u(0). )
Есть и хитрый вопрос. В обобщённых функциях можно любые производные брать, в том числе смешанные, и от порядка это не зависит, они совпадают. А мы знаем, что у обычных функций это не так, могут не совпадать.
Может сложиться впечатление, что всё это одно и то же: слабые решения, обобщённые производные и обобщённые функции - но нет. Это всё одна идея, но понятия разные.
Обобщённая производная функции - это фунция; возможно, какая-нибудь L2, то есть с оговорками насчёт меры нуль, но функция. А обобщённая функция это объект вообще иной природы! Хотя часть функций (не все) в себя включает. Например, функции умножать можно, а обобщённые - увы.
Если интересно, можно продолжить эту тему.
Ну например, ряд Σcos(nx) суммируется как рад обобщённых функций, и сумма пропорциональна δ. В самом деле, домножим на финитную u и проинтегрировав почленно, получим ряд коэффицентов Фурье функции u (а она очень хорошая). Припишем незримо cos(n0), равные 1, и получим ряд Фурье функции u(x) в нуле (с точностью до множителя). То есть u(0). Получается, что сумма ряда действует на любую u(x) как дельта (со множителем). QED.
(Для обобщённых функций нет смысла говорить о значении в точке, но они могут равняться нулю на интервале (или совпадать на интервале). Обобщённая функция равна нулю на интервале, если этот функционал даёт нуль на любой фунции, которая равна нулю вне интервала. Дельта, например, равна нулю везде, кроме нуля: нуль не входит в область, значит u(0) должно быть 0, а дельту мы определили как u(0). )
Есть и хитрый вопрос. В обобщённых функциях можно любые производные брать, в том числе смешанные, и от порядка это не зависит, они совпадают. А мы знаем, что у обычных функций это не так, могут не совпадать.
Может сложиться впечатление, что всё это одно и то же: слабые решения, обобщённые производные и обобщённые функции - но нет. Это всё одна идея, но понятия разные.
Обобщённая производная функции - это фунция; возможно, какая-нибудь L2, то есть с оговорками насчёт меры нуль, но функция. А обобщённая функция это объект вообще иной природы! Хотя часть функций (не все) в себя включает. Например, функции умножать можно, а обобщённые - увы.
Если интересно, можно продолжить эту тему.
❤14👍1🕊1
Уважаемые коллеги!
📚Представляю вашему вниманию довольно интересную книгу “5000 Years of Geometry: Mathematics in History and Culture” Это одно из наиболее полных и структурированных изданий, посвящённых развитию геометрии от древнейших цивилизаций до математических теорий XX века.
Авторы последовательно рассматривают несколько крупных исторических этапов ранние практические формы геометрии в Египте и Месопотамии, греческую математическую традицию, вклад Китая, Индии и исламского мира, европейское Средневековье и Ренессанс, становление аналитической и дифференциальной геометрии в Новое время, а также появление неэвклидовых и современных геометрических концепций.
Книга выделяется тем, что сочетает исторический обзор с содержательной математикой. В ней представлены оригинальные фрагменты источников, аккуратно изложенные идеи ключевых авторов, иллюстрации, а также задачи разного уровня от базовых до требующих университетской подготовки. Это позволяет использовать книгу как справочный материал, учебное пособие или основу для курсов по истории математики.
Издание основано на переработанном немецком оригинале, оно подходит тем, кто изучает историю науки, интересуется эволюцией математических понятий или работает с геометрией в профессиональном контексте.
#геометрия #математика #историяматематики #книги #наука #математикавкультуре #geometry #mathematics #historyofmathematics #sciencebooks
📚Представляю вашему вниманию довольно интересную книгу “5000 Years of Geometry: Mathematics in History and Culture” Это одно из наиболее полных и структурированных изданий, посвящённых развитию геометрии от древнейших цивилизаций до математических теорий XX века.
Авторы последовательно рассматривают несколько крупных исторических этапов ранние практические формы геометрии в Египте и Месопотамии, греческую математическую традицию, вклад Китая, Индии и исламского мира, европейское Средневековье и Ренессанс, становление аналитической и дифференциальной геометрии в Новое время, а также появление неэвклидовых и современных геометрических концепций.
Книга выделяется тем, что сочетает исторический обзор с содержательной математикой. В ней представлены оригинальные фрагменты источников, аккуратно изложенные идеи ключевых авторов, иллюстрации, а также задачи разного уровня от базовых до требующих университетской подготовки. Это позволяет использовать книгу как справочный материал, учебное пособие или основу для курсов по истории математики.
Издание основано на переработанном немецком оригинале, оно подходит тем, кто изучает историю науки, интересуется эволюцией математических понятий или работает с геометрией в профессиональном контексте.
#геометрия #математика #историяматематики #книги #наука #математикавкультуре #geometry #mathematics #historyofmathematics #sciencebooks
🔥11❤5👍2🕊1
Что такое теория относительности?
(Моснаучфильм, 1964)
https://vk.com/video-51126445_456241561
Фильм о том, как знакомиться с девушкой в поезде 🥰
В купе поезда, идущего в Новосибирск, молодая женщина-физик объясняет своим попутчикам-актёрам, едущим на съёмки фильма, что такое теория относительности. Несмотря на доступность изложения, рассказ принимается с разной степенью понимания каждым из её собеседников, а кто-то вообще заснул, пропустив всё объяснение.
В фильме снимались:
Алла Демидова в роли молодой учёного-физика, а также Алексей Полевой, Георгий Вицин, Алексей Грибов, Георгий Тусузов.
#ёжик_смотрит_видео
#ёжик_развлекается
(Моснаучфильм, 1964)
https://vk.com/video-51126445_456241561
Фильм о том, как знакомиться с девушкой в поезде 🥰
В купе поезда, идущего в Новосибирск, молодая женщина-физик объясняет своим попутчикам-актёрам, едущим на съёмки фильма, что такое теория относительности. Несмотря на доступность изложения, рассказ принимается с разной степенью понимания каждым из её собеседников, а кто-то вообще заснул, пропустив всё объяснение.
В фильме снимались:
Алла Демидова в роли молодой учёного-физика, а также Алексей Полевой, Георгий Вицин, Алексей Грибов, Георгий Тусузов.
#ёжик_смотрит_видео
#ёжик_развлекается
VK Видео
Что такое теория относительности [1964]
Physics.Math.Code: https://xn--r1a.website/physics_lib Учебные фильмы: https://xn--r1a.website/maths_lib Блог репетитора: https://xn--r1a.website/mentor_it Инфо-безопасность и хакинг: https://xn--r1a.website/epsilon_h YouTube: youtube.com/c/PhysicsMathCode VK: vk.com/physics_math Видеоуроки, книги…
❤16❤🔥3🕊1
Встречали ли вы математиков, занимающихся сизифовым трудом?
Это, на самом деле, не такое уж редкое явление. В профессиональных кругах встречаются попытки подобрать контрпример к какому-то утверждению (гипотеза Римана? Может, Коллатца? Приведите свой пример, удивитесь, это окажется нетрудно) путём — барабанная дробь — полного перебора всех возможных чисел!
Точно таким же нескончаемым способом отыскивают простые числа (с припуском на алгоритмы оптимизации, но всё-таки это широкая практика). Вероятно, ради того, чтобы напечатать очередную статью или нечто вроде того.
Какие ещё примеры «сизифовых» процессов в математике вы встречали? Как думаете, можно ли в конце концов избежать подобного при должном развитии математики?
#ёжик_развлекается
Это, на самом деле, не такое уж редкое явление. В профессиональных кругах встречаются попытки подобрать контрпример к какому-то утверждению (гипотеза Римана? Может, Коллатца? Приведите свой пример, удивитесь, это окажется нетрудно) путём — барабанная дробь — полного перебора всех возможных чисел!
Точно таким же нескончаемым способом отыскивают простые числа (с припуском на алгоритмы оптимизации, но всё-таки это широкая практика). Вероятно, ради того, чтобы напечатать очередную статью или нечто вроде того.
Какие ещё примеры «сизифовых» процессов в математике вы встречали? Как думаете, можно ли в конце концов избежать подобного при должном развитии математики?
#ёжик_развлекается
❤17🕊2👍1
Дорогие коллеги!
Праздник продолжается! И продолжается он замечательным мемом от паблика «Загадочные обстоятельства» об одной из самых ярких историй в математике!
Если найдутся желающие, наша редакторская команда постарается написать статью по теоремам Гёделя о неполноте ;)
#ёжик_развлекается
Праздник продолжается! И продолжается он замечательным мемом от паблика «Загадочные обстоятельства» об одной из самых ярких историй в математике!
Если найдутся желающие, наша редакторская команда постарается написать статью по теоремам Гёделя о неполноте ;)
#ёжик_развлекается
❤23🤣12🔥2👏1🕊1
Мы завершаем сегодняшнее Воскресенье этой исключительно тёплой фотографией клуба фанатов Ёжика в городе Астана.
Мои прекрасные студенты с первого и второго курсов казахстанского филиала МГУ позировали для нашего воскресного поста! Спасибо, коллеги!
Пользуясь случаем, рассказываю о продолжении истории по посылке Теренсу Тао его книжки по почте. По каким-то полуполитическим мотивам в данный момент послать почту в США, даже не из РФ, практически невозможно. Поэтому я, видимо, повезу книги обратно в Москву и попробую передать их в Америку через замечательного подписчика Ёжика, который предложил свои услуги по транспортировке книг в Сиэтл. Прорвёмся!!! 😊
#дневник_робинзона_крузо
Мои прекрасные студенты с первого и второго курсов казахстанского филиала МГУ позировали для нашего воскресного поста! Спасибо, коллеги!
Пользуясь случаем, рассказываю о продолжении истории по посылке Теренсу Тао его книжки по почте. По каким-то полуполитическим мотивам в данный момент послать почту в США, даже не из РФ, практически невозможно. Поэтому я, видимо, повезу книги обратно в Москву и попробую передать их в Америку через замечательного подписчика Ёжика, который предложил свои услуги по транспортировке книг в Сиэтл. Прорвёмся!!! 😊
#дневник_робинзона_крузо
❤20🍓3🕊2
Доброго дня, дорогие коллеги! 🍁
📗 Кажется, что каждому школьнику прошлого века была знакома одна небольшая книжечка в зеленой обложке — таблицы Брадиса. Умение ее использовать экономили кучу времени для нахождения тригонометрических функций любого угла с точностью до минут и секунды или же извлекать корни из больших чисел. Но есть в них и еще одна довольно забавная и не менее занимательная вещь — номограммы.
✍️ Номограмма — это графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Такой своего рода графический калькулятор может помочь решать квадратное уравнение без применения формул.
📌 Разработка теории номографических построений началась в середине 19 века. Первым создателем прямолинейных сетчатых номограмм стал французский инженер Л.К.Лаланн. А уже основания общей теории номографических построений заложил механик М. Окань. В его работах впервые встречается название номограмма. В России же вопросами номографии начал заниматься профессор Н.М.Герсеванов, но уже в начале 20 века.
Профессор Н.А.Глаголев, возглавлявший советскую номографическую школу, внес огромный вклад в развитие теории номографии.
📐 Особенность номограмм — каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа. Одно из отличий от обычных вычислительных устройств – параллельная система координат вместо привычной декартовой плоскости.
🔖 ВИДЫ НОМОГРАММ:
— из выровненных точек (для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой);
— сетчатые (для их построения применяются функциональные сетки). Кроме прямой линии могут применяться и другие, так называемые разрешающие индексы номограммы: окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т.д. ;
— транспарантные (включает в себя основную плоскость и транспарант, где изображены переменные).
💡 КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ? (см. картинку 3 и 4)
Для любого уравнения типа f(x,y)=z номограммы строятся в виде сетки взаимно перпендикулярных прямых по одному направлению в любом масштабе, откладываются значения — х, по другому — у. Придавая z поочередно значения z1, z2, ..., zn, строят необходимое количество кривых, соответствующих уравнению f(x, y)=zi. Зная xk и yk, строят точку А, по которой ищут zk. Если А не попала ни на одну из кривых z1, z2, ..., zn, то значение zk берется по интерполяции. Если известны zm и хm то, очевидно, не представляет труда найти уm.
Шкала для неизвестной переменной может располагаться между двумя другими шкалами или вне их. Известные значения в вычислении отмечены на шкалах для этих переменных, и между этими отметками проведена линия. Результат считывается с неизвестной шкалы в точке пересечения линии с этой шкалой. На шкалах есть «отметки», указывающие на точное расположение чисел, а также могут быть указаны справочные значения с подписями. Эти шкалы могут быть линейными, логарифмическими или иметь другую, более сложную зависимость.
🈺 ПРИЛОЖЕНИЯ:
— строительство ж/д систем;
— конструирование систем водоснабжения;
— медицинские исследования;
— расчеты в системах пожаротушения;
— химическая инженерия;
— авиационная навигация;
— сейсмология и многое другое.
На последних 4 картинках приведены примеры номограмм: Вольперта-Смита, таблица умножения, вычисления электрического сопротивления при параллельном включении и распределения χ2.
💡 P.S. А Вы знаете о таких графических калькуляторах?) Если да, то поделитесь своим опытом использования в комментариях)
#ёжик_пишет
#алгебра_и_геометрия
#элементарная_математика
📗 Кажется, что каждому школьнику прошлого века была знакома одна небольшая книжечка в зеленой обложке — таблицы Брадиса. Умение ее использовать экономили кучу времени для нахождения тригонометрических функций любого угла с точностью до минут и секунды или же извлекать корни из больших чисел. Но есть в них и еще одна довольно забавная и не менее занимательная вещь — номограммы.
✍️ Номограмма — это графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Такой своего рода графический калькулятор может помочь решать квадратное уравнение без применения формул.
📌 Разработка теории номографических построений началась в середине 19 века. Первым создателем прямолинейных сетчатых номограмм стал французский инженер Л.К.Лаланн. А уже основания общей теории номографических построений заложил механик М. Окань. В его работах впервые встречается название номограмма. В России же вопросами номографии начал заниматься профессор Н.М.Герсеванов, но уже в начале 20 века.
Профессор Н.А.Глаголев, возглавлявший советскую номографическую школу, внес огромный вклад в развитие теории номографии.
📐 Особенность номограмм — каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа. Одно из отличий от обычных вычислительных устройств – параллельная система координат вместо привычной декартовой плоскости.
🔖 ВИДЫ НОМОГРАММ:
— из выровненных точек (для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой);
— сетчатые (для их построения применяются функциональные сетки). Кроме прямой линии могут применяться и другие, так называемые разрешающие индексы номограммы: окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т.д. ;
— транспарантные (включает в себя основную плоскость и транспарант, где изображены переменные).
💡 КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ? (см. картинку 3 и 4)
Для любого уравнения типа f(x,y)=z номограммы строятся в виде сетки взаимно перпендикулярных прямых по одному направлению в любом масштабе, откладываются значения — х, по другому — у. Придавая z поочередно значения z1, z2, ..., zn, строят необходимое количество кривых, соответствующих уравнению f(x, y)=zi. Зная xk и yk, строят точку А, по которой ищут zk. Если А не попала ни на одну из кривых z1, z2, ..., zn, то значение zk берется по интерполяции. Если известны zm и хm то, очевидно, не представляет труда найти уm.
Шкала для неизвестной переменной может располагаться между двумя другими шкалами или вне их. Известные значения в вычислении отмечены на шкалах для этих переменных, и между этими отметками проведена линия. Результат считывается с неизвестной шкалы в точке пересечения линии с этой шкалой. На шкалах есть «отметки», указывающие на точное расположение чисел, а также могут быть указаны справочные значения с подписями. Эти шкалы могут быть линейными, логарифмическими или иметь другую, более сложную зависимость.
🈺 ПРИЛОЖЕНИЯ:
— строительство ж/д систем;
— конструирование систем водоснабжения;
— медицинские исследования;
— расчеты в системах пожаротушения;
— химическая инженерия;
— авиационная навигация;
— сейсмология и многое другое.
На последних 4 картинках приведены примеры номограмм: Вольперта-Смита, таблица умножения, вычисления электрического сопротивления при параллельном включении и распределения χ2.
💡 P.S. А Вы знаете о таких графических калькуляторах?) Если да, то поделитесь своим опытом использования в комментариях)
#ёжик_пишет
#алгебра_и_геометрия
#элементарная_математика
❤4🕊1
📚 Games, Gambling, and Probability
An Introduction to Mathematics
Когда мы говорим о вероятности, чаще всего в голове всплывают сухие формулы, учебники и бесконечные задачи из учебной программы. Но на самом деле история этой области куда живее большинство ключевых идей родились не в аудиториях, а за игровыми столами. Именно поэтому книга Games, Gambling, and Probability так необычна она возвращает вероятности их естественный контекст и показывает, как из простых ситуаций в азартных играх рождается строгая математика.
Второе издание получилось более цельным и современным. Автор аккуратно выстраивает тему от фундаментальных понятий комбинаторики, мат. ожидания, анализа вероятностных моделей к более сложным вопросам стратегии, теории игр и оценки риска. Интересно, что, несмотря на лёгкие игровые примеры, сама подача остаётся академичной никаких попыток развлечь читателя, только логика, ясные модели и большое количество задач, которые заставляют подумать. Некоторые главы, например разделы про блэкджек, покер и спортивные модели, дают ощущение, что ты наблюдаешь, как сухая теория превращается в практический инструмент анализа поведения и принятия решений.
При этом важно сказать честно книга не про азарт и не про то, как обыгрывать казино. Она про то, как устроен риск, про то, почему интуиция часто подводит, а строгий расчёт наоборот возвращает ощущение контроля. Для студентов это хорошая возможность увидеть, что вероятность не абстракция, а рабочий язык мира. Для преподавателей готовый набор примеров, которые действительно работают. Для специалистов из аналитики, финансов и страхования шанс освежить базовую интуицию и посмотреть на знакомые идеи под другим углом.
Самое ценное здесь ясность, автор не перегружает формализмом, но и не упрощает до банальности. Это тот редкий случай, когда книга может служить и учебником, и просто хорошим чтивом для человека, который хочет лучше понимать, как устроены случайность, стратегия и рациональный выбор.
#вероятности #статистика #теорияигр
#аналитика #комбинаторика #принятиерешений
#книги #наука #образование #математическоемышление
#gambling #probability #mathematics
An Introduction to Mathematics
Когда мы говорим о вероятности, чаще всего в голове всплывают сухие формулы, учебники и бесконечные задачи из учебной программы. Но на самом деле история этой области куда живее большинство ключевых идей родились не в аудиториях, а за игровыми столами. Именно поэтому книга Games, Gambling, and Probability так необычна она возвращает вероятности их естественный контекст и показывает, как из простых ситуаций в азартных играх рождается строгая математика.
Второе издание получилось более цельным и современным. Автор аккуратно выстраивает тему от фундаментальных понятий комбинаторики, мат. ожидания, анализа вероятностных моделей к более сложным вопросам стратегии, теории игр и оценки риска. Интересно, что, несмотря на лёгкие игровые примеры, сама подача остаётся академичной никаких попыток развлечь читателя, только логика, ясные модели и большое количество задач, которые заставляют подумать. Некоторые главы, например разделы про блэкджек, покер и спортивные модели, дают ощущение, что ты наблюдаешь, как сухая теория превращается в практический инструмент анализа поведения и принятия решений.
При этом важно сказать честно книга не про азарт и не про то, как обыгрывать казино. Она про то, как устроен риск, про то, почему интуиция часто подводит, а строгий расчёт наоборот возвращает ощущение контроля. Для студентов это хорошая возможность увидеть, что вероятность не абстракция, а рабочий язык мира. Для преподавателей готовый набор примеров, которые действительно работают. Для специалистов из аналитики, финансов и страхования шанс освежить базовую интуицию и посмотреть на знакомые идеи под другим углом.
Самое ценное здесь ясность, автор не перегружает формализмом, но и не упрощает до банальности. Это тот редкий случай, когда книга может служить и учебником, и просто хорошим чтивом для человека, который хочет лучше понимать, как устроены случайность, стратегия и рациональный выбор.
#вероятности #статистика #теорияигр
#аналитика #комбинаторика #принятиерешений
#книги #наука #образование #математическоемышление
#gambling #probability #mathematics
🔥6❤4
Как звучит Тау.
[https://vk.com/wall-186208863_38282|Давным-давно мы слушали "Пилыбельную"] — колыбельную мелодию, составленную по первым знакам числа Пи. А сегодня пришло время узнать, как звучит Тау.
Напомню, что [https://vk.com/wall-186208863_59809|Тау равно двум Пи].
Озвучить Тау взялся Майкл Блейк (Michael Blake). Он использовал 126 цифр числа Тау, которые перевел в ноты. Затем он сыграл их по отдельности на пианино, ксилофоне, гитаре, банджо, аккордеоне и скрипке, и объединил в финальную мелодию. Получилось очень красиво и романтично.
Послушайте.
Мне кажется, что звучание Тау получилось намного лучше звучания Пи? Вот вам еще один плюс в пользу Тау)
-------
Всю сознательную жизнь был профаном в музыке. Из теории знал, что есть ноты: до, ре, ми, ... и знаки бемоля и диеза. Но тут, вдруг, ребенок поступил в музыкальную школу и началась теория музыки, задания по сольфеджио и игра с нот на инструменте. И к кому ребенок обращается за помощью? Правильно — к папе! Самому главному специалисту по музыкальной теории))) Вот и приходится наверстывать упущенное и, заодно, находить интересные связи между музыкой и математикой, которыми делюсь. И, надо сказать, мне начинает нравится музыкальная теория.
-------
Если заметка понравилось, то в следующий раз расскажу про другие мелодии, навеянные математикой.
#ёжик_пишет
[https://vk.com/wall-186208863_38282|Давным-давно мы слушали "Пилыбельную"] — колыбельную мелодию, составленную по первым знакам числа Пи. А сегодня пришло время узнать, как звучит Тау.
Напомню, что [https://vk.com/wall-186208863_59809|Тау равно двум Пи].
Озвучить Тау взялся Майкл Блейк (Michael Blake). Он использовал 126 цифр числа Тау, которые перевел в ноты. Затем он сыграл их по отдельности на пианино, ксилофоне, гитаре, банджо, аккордеоне и скрипке, и объединил в финальную мелодию. Получилось очень красиво и романтично.
Послушайте.
Мне кажется, что звучание Тау получилось намного лучше звучания Пи? Вот вам еще один плюс в пользу Тау)
-------
Всю сознательную жизнь был профаном в музыке. Из теории знал, что есть ноты: до, ре, ми, ... и знаки бемоля и диеза. Но тут, вдруг, ребенок поступил в музыкальную школу и началась теория музыки, задания по сольфеджио и игра с нот на инструменте. И к кому ребенок обращается за помощью? Правильно — к папе! Самому главному специалисту по музыкальной теории))) Вот и приходится наверстывать упущенное и, заодно, находить интересные связи между музыкой и математикой, которыми делюсь. И, надо сказать, мне начинает нравится музыкальная теория.
-------
Если заметка понравилось, то в следующий раз расскажу про другие мелодии, навеянные математикой.
#ёжик_пишет
❤3👍2🔥2🕊2