«Математика — такое же искусство, как музыка, скульптура и рисование, а чтобы основательно овладеть математикой, необходимо терпение и упорство».

11 октября 1910 г. родился Джахит Арф, турецкий математик. Его имя связывают с инвариантом Арфа квадратичной формы, применяемой в теории узлов в топологии, а также с теоремой Хассе – Арфа, с группами и кольцами Арфа. Над пространством ℤ₂ ⁿ квадратичная форма задаётся одним числом. А число это равно тому, какое значение форма принимает чаще всего на всех возможных векторах из нашего пространства — 0 или 1.
Признаться, раньше мне не приходилось слышать имя этого математика. Когда был в Турции, на себя обратила внимание формула на купюре в 10 лир. Выяснил, что она выражает собой инвариант Арфа, а Арф является гордостью турок. И ещё в Турции в память об учёном есть монета, выпущенная в 2001 г., на четвёртый год после его смерти.

«Жизнь затонула на дне океана воздуха».
«У геометра есть особая привилегия, чтобы посредством абстракции выполнять все конструкции с помощью интеллекта».

15 октября 1608 г. родился Эванджелиста Торричелли, итальянский физик и математик. Наиболее знаменит открытием атмосферного давления и изобретением барометра. Первым дал научное объяснение причин ветра — из-за разности температуры воздуха, и, следовательно, плотности в разных регионах. Сформулировал закон вытекания жидкости из отверстий в стенке открытого сосуда и вывел формулу для определения скорости вытекания — скорость пропорциональна квадратному корню из глубины.
Занимаясь вопросами баллистики, пришёл к понятию огибающей семейства кривых (параболических траекторий снарядов) — параболы безопасности.
Открыл пример тела, площадь поверхности которого бесконечна, а объём конечен — рог Гавриила.
Точкой Торричелли (иногда именуемой также точкой Ферма) треугольника называют точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна. Если в треугольнике нет угла больше 120°, то это та точка, из которой каждая сторона видна под углом 120° (а если такой угол есть, то точкой Торричелли служит вершина этого угла).

📐 Математика ожидания: где встать, чтобы быстрее добраться до лифта?

Представьте три лифта, расположенные вдоль стены, но неравномерно. Вопрос: где нужно встать, чтобы минимизировать ожидаемое расстояние до первого прибывшего лифта?

💡 Многие ошибочно считают, что лучше встать в среднем положении между лифтами, чтобы минимизировать среднее расстояние до любого из них. Однако, это на самом деле минимизирует среднеквадратичное расстояние — не то, что нам нужно! Для минимизации среднего расстояния правильная точка — это медиана расположения лифтов.

Почему медиана, а не среднее?
Представьте, что лифты стоят неравномерно. Если встать перед вторым лифтом, то любое движение влево или вправо увеличит среднее расстояние до всех лифтов.

Если вы сдвинетесь влево к первому лифту, то сократите расстояние до него, но увеличите расстояние до второго и третьего.
Если сдвинетесь вправо, аналогично уменьшите расстояние до третьего лифта, но увеличите до первых двух.
Таким образом, находясь в медианном положении, среднее расстояние до ближайшего лифта будет минимальным, и любое движение только увеличит его.

А если минимизировать наихудший случай?
Если задача — не минимизировать среднее расстояние, а минимизировать максимальное расстояние до любого из лифтов, то правильнее встать посередине между крайними лифтами. Это точка, где максимальное расстояние до любого лифта будет минимальным.

Итог:
Чтобы минимизировать среднее расстояние до первого лифта, встаньте в медиану — перед вторым лифтом.
Чтобы минимизировать максимальное расстояние (наихудший вариант), встаньте на полпути между крайними лифтами.

Несколько задач от Бена Орлина

12 точек на окружности расположены так, что дуги между соседними точками равны.
Какая часть круга закрашена?

Возможная идея решения задачи по ссылке.

12 точек на окружности расположены так, что дуги между соседними точками равны. Единственная выделенная точка в центре круга — его центр.
Какая часть круга закрашена?

Возможная идея решения задачи по ссылке.

12 точек на окружности расположены так, что дуги между соседними точками равны.
Какая часть круга закрашена?

Возможная идея решения задачи по ссылке.

12 точек на окружности расположены так, что дуги между соседними точками равны.
Какая часть круга закрашена?

Возможная идея решения задачи по ссылке.

«Математика — один из видов искусства».

21 октября 1914 г. родился Мартин Гарднер — американский математик-любитель, писатель, популяризатор науки. Особую популярность снискали статьи и книги Гарднера по занимательной математике. Гарднер трактовал занимательность как синоним увлекательного, интересного в познании, но чуждого праздной развлекательности. Среди произведений Гарднера есть философские эссе, очерки по истории математики, математические фокусы и «комиксы», научно-популярные этюды, научно-фантастические рассказы, задачи на сообразительность. Его стиль характеризуют доходчивость, яркость, убедительность изложения, блеск, парадоксальность мысли, новизна и глубина научных идей, многие из которых почерпнуты из современных научных публикаций и в свою очередь стали стимулом проведения серьёзных исследований, активного вовлечения читателя в самостоятельное творчество.
Известен также как автор нескольких фантастических рассказов, комментатор Льюиса Кэрролла и Г.К. Честертона.

Гарднер ввёл для натурального числа характеристику его стойкости — количество шагов, необходимых для сведения его к одной цифре посредством перемножения цифр этого числа. Например, для числа 57 потребуется 3 таких шага: 57 – 35 –15 – 5.
Возникает интересный вопрос поиска наименьшего числа заданной стойкости. Например, наименьшее из чисел с числом стойкости, равным 1, — 10, для числа стойкости 2 это будет 25, самое маленькое число со стойкостью 3 — 39, если число стойкости равно 4, наименьшим числом для него будет 77, а для чисел стойкости 5 наименьшим является 679.

Вспомним несколько задач-головоломок М. Гарднера.

Задача. Разделите одним разрезом фигуру на две одинаковые части.

Решение задачи по ссылке.

Задача. Один молодой человек живет в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая – в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин, и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам большую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина: в среднем из каждых десяти поездок девять приходится на Бруклин. Почему же у Бруклина такой огромный перевес?

Решение задачи по ссылке.

Задача. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение задачи по ссылке.

Задача. В углах квадрата со стороной 10 находится по таракану. Они начинают одновременно ползти: A к B, B к C, C к D и D к A. Если все четыре насекомых начнут двигаться одновременно с одинаковой скоростью, то они опишут четыре одинаковые логарифмические спирали, которые пересекутся в центре квадрата. Какое расстояние проползёт до встречи каждый таракан? (Задача решается без вычислений.)
Тот же вопрос, если три таракана сидят в вершинах правильного треугольника.

Решение задачи по ссылке.

Задача. Если считать, что спичка служит эталоном длины (её длина принята за единицу), то 12 спичек можно различными способами расположить на плоскости так, чтобы получились многоугольники с целочисленной площадью. Например, легко построить квадрат с площадью 9 или крест с площадью 5.
Пользуясь всеми 12 спичками (длина каждой спички должна быть использована полностью), требуется выложить периметр многоугольника, площадь которого равна 4.

Решение задачи по ссылке.

Задача. Четыре шара можно расположить так, что каждый из них будет касаться трёх других. Пять монет можно установить так, что каждая монета будет касаться четырёх остальных.
А можно ли расположить семь сигарет таким образом, чтобы каждая из них соприкасалась с шестью остальными?

Решение задачи по ссылке.

В июне 1974 года Гарднер опубликовал в журнале Scientific American в своей колонке "Математические игры" пародию на псевдонаучную статью, в которой рассказал о совершенно невероятных свойствах пирамид. Речь шла о том, что внутри пирамидальных конструкций происходят удивительные процессы: лезвия самозатачиваются, бактерии и грибки погибают, процесс старения останавливается, происходят исцеления...
Не разобравшись в пародийности этой статьи по всему миру начали строить пирамиды, которые «гармонизируют структуру окружающего пространства». Строили их у нас. Самая известная — пирамида инженера А.Е. Голода на 38-м километре Новорижского шоссе (высота пирамиды 44 метра, вес сооружения превышает 55 тонн, стоимость строительства более 1 миллиона долларов) была построена в 1999 г. и разрушена ураганом в 2017 г., но в том же году восстановлена в уменьшенном в 3 раза размере.
На уловки проходимцев, раскрутивших шуточную идею Гарднера, купился и "Газпром" — его управляющие поверили словам мошенников о чудодейственных свойствах пирамид по уменьшению на 30% вязкости нефти в местах их установки и начали строить пирамиды на месторождениях нефти и газа.

Самое большое простое число было обнаружено 12 октября 2024 г. исследователем из Сан-Хосе, Калифорния, Люко Дурантом. Оно принадлежит к классу простых чисел Мерсенна (которые являются крайне редкими среди всех известных простых чисел) и составляет 2¹³⁶²⁶⁹⁸⁴¹–1, состоит из 41 024 320 десятичных цифр. Этот рекорд побил предыдущее крупнейшее известное простое число (обнаруженное в 2018 г.) на 16 миллионов цифр.

24 октября 1906 г. родился Александр Осипович Гельфонд. Внёс существенный вклад в методы исследования трансцендентных чисел. Доказал трансцендентность логарифмов алгебраических чисел при алгебраическом основании. Изучил взаимную трансцендентность чисел и общих вопросов диофантовых приближений. Опубликовал множество работ по теории чисел и теории функций комплексного переменного, по проблемам единственности, полноты систем функций, интерполяции в комплексной области, по арифметическим свойствам функций. Ему принадлежат также исследования о работах Л. Эйлера по теории чисел и анализу, ряд статей по истории трансцендентных чисел, по истории отдельных вопросов теории чисел и теории функций.
Во время ВОВ решал прикладные задачи, поставленные Главным штабом Военно-Морского флота.

В.И. Арнольд: «Один из лучших математиков России — Александр Осипович Гельфонд (24 октября 2006 г. мы отпраздновали 100-летие со дня его рождения) — был главным криптографом флота во время войны. По-моему, с генеральским чином в соответствующем комитете. Он знаменит не только своими гениальными работами по теории чисел (за которые, однако, его так и не выбрали почему-то в академики, хотя член-корреспондентом он был выбран в молодости), но и своими секретными работами. Мало кто в мире подозревал, что Александр Осипович — не академик».