В поисках справедливости — 12

Арифметика итоговых оценок: когда точность вредит смыслу

Электронный журнал выдаёт среднюю оценку ученика, например, 4,37 балла. Возникает вопрос: имеет ли смысл такое вычисление с точностью до сотых? Или хотя бы до десятых?
Можно ли вообще оценить знания ученика с такой точностью? Ясно, что нет. Обычная «четвёрка» в журнале — это ведь не точка. Это скорее промежуток, примерный диапазон от 3,5 до 4,5. В самую суть оценки уже вшита погрешность.
Как писал математик Б.В. Гнеденко: «Если приборы дают нам результаты измерений с некоторой неопределённостью δ, то стремиться посредством больших чисел получить "истинное" значение с большей степенью точности является заблуждением, а сами произведённые при этом вычисления превращаются в арифметическую забаву». Усреднение множества «примерных» оценок не уменьшает исходной погрешности — оно лишь создаёт иллюзию точности. Особенно абсурдно это выглядит, если вспомнить, что сама погрешность (0,5 балла) составляет шестую часть всей пятибалльной шкалы (от 2 до 5)!
Однако проблема гораздо глубже простой неточности. Мы совершаем методологическую ошибку, складывая принципиально разные вещи. Письменная работа, устный ответ и творческий проект — это «яблоки, апельсины и бананы». Предварительное умножение их на магические коэффициенты («веса») не превращает их в однородные величины. С точки зрения теории измерений, это бессмыслица. В результате мы получаем не «среднее значение», а винегрет, рецепт которого (эти самые веса) кто-то довольно произвольно придумал.
Помните, лет 10–15 назад в моде был показатель СОУ (степень обученности учащихся) — непревзойдённый образец педагогического шаманства. Выглядел он так:
СОУ = (1 × n₅ + 0,64 × n₄ + 0,36 × n₃ + 0,16 × n₂) / N × 100%.
Эти коэффициенты — 0,64, 0,36 — пытались обосновать чем угодно: и «кривой нормального распределения», и «арифметической прогрессией». Выглядело это наукообразно, но по сути было просто игрой с цифрами. Подобно тому, как педагог вычислял «степень обученности», можно было бы предложить врачу считать «степень вылеченности» больных, повару — «степень приготовленности» обеда, парикмахеру — «степень остриженности волос на голове»… Некоторые региональные управленцы до сих пор требуют СОУ, потому что он красиво смотрится в таблицах, но на деле это математический фантом.
Нынешние средневзвешенные баллы — это прямые потомки того самого СОУ. Болезнь у них одна: вера в то, что сложный педагогический вопрос можно решить с помощью простой математической формулы.
В чём же состоит эта нерешаемая формулой дилемма? Одни считают: «Контрольная работа — ключевой срез, она показывает, усвоил ли ученик тему в принципе». Другие настаивают: «Без систематической работы над текущими заданиями не может быть и глубокого усвоения». И по-своему правы и те, и другие.
А что делает система с весами? Загоняет нас в угол, заставляя выбрать одну сторону. И вместо профессионального разговора подменяет его бездушным расчётом. Выходит, что субъективное решение (какие коэффициенты назначить) вдруг становится «объективной истиной».
Что же делать?
Математика должна быть помощником, а не начальником. Окончательного ответа, вероятно, нет, но есть некие разумные принципы.
Смотреть на динамику. Если ученик начал с тройки, а закончил на пятёрку, — это куда важнее, чем любое усреднённое число.
Использовать медиану. Одна случайная двойка из-за болезни или стресса не должна портить всю картину. Медиана помогает отсечь такие выбросы.
Дать второй шанс. Учиться — значит ошибаться. Возможность переписать важную работу должна быть.
И самое главное — цифры должны быть инструментом для принятия решений, а не самим решением. Последнее слово должно оставаться за человеком, за учителем. Только он, видя все обстоятельства — старания, прогресс, личные ситуации, — может принять по-настоящему взвешенное решение. Это право — и эта ответственность — округлить итог в большую сторону, если виден явный прогресс, или в меньшую, если полученный высокий балл не отражает реальных знаний. Нельзя позволить алгоритму заменить собой профессиональное видение.

Задача 2. Найдите все натуральные числа, оканчивающиеся на 2026, которые после вычёркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.

Ответ: 12026, 22026, 10132026, 20262026.
Натуральные числа, удовлетворяющие условию, содержат впереди числа 2026 запись всевозможных его делителей.

Задача 3. Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Может ли произведение этих чисел оканчиваться на 2026?

Ответ: нет. Отношение площадей двух соседних треугольников равно отношению площадей двух других соседних треугольников, отсюда произведения площадей пар треугольников, имеющих вертикальные углы, равны между собой, а произведение всех четырёх площадей есть полный квадрат. Квадрат числа не может оканчиваться на 26, т.к. это число делится на 2 и не делится на 4.

Задача 4. На доске в первой строке написано два последовательных натуральных числа n и n+1, а во второй — по одному разу те и только те натуральные числа, которые являются делителями какого‐либо числа из первой строки. Сколько существует таких чисел n ≤ 2026, для которых во второй строке написано чётное количество чисел?

Ответ: 89. Натуральное число n имеет нечётное количество делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом (поскольку все его делители разбиваются на пары (d и n/d), а квадрат имеет один непарный делитель). Числа n и n+1 имеют единственный общий делитель 1. Поскольку наибольший квадрат, меньший 2026, равен 45² = 2025, существует ровно 45 чисел, для которых n является квадратом натурального числа, и 44 таких числа для n+1.

🎄 Ошибки прошлого и надежды на будущее

В преддверии Нового года принято смотреть вперёд, строить планы и мечтать о будущем. Но не менее поучительно бывает оглянуться назад, чтобы увидеть, как даже самые изящные математические модели могут нас обмануть. Стоит лишь забыть простую истину: мир живёт не по удобным нам графикам, а по нелинейным сценариям.
65 лет назад, в 1960 г., австрийский математик Хайнц фон Фёрстер опубликовал в журнале Science свой зловещий прогноз под названием «Судный день. Пятница, 13 ноября 2026 года». Его модель роста населения Земли, основанная на гиперболической зависимости P(t) = C/(t₀–t), предсказывала, что к означенной дате население Земли устремится к бесконечности. Расчёты, надо признать, выглядели убедительно: для 1970 г. модель давала значение 3,77 млрд человек против реальных 3,71 млрд. Однако в основе прогноза была заложена роковая ошибка — наивная вера в то, что социальные системы можно просто описать экстраполяцией прошлых трендов, игнорируя их способность к самоорганизации и нелинейным изменениям.
Мир оказался сложнее. Вместо предсказанного демографического взрыва мы столкнулись с тихим спадом. Население Земли даже не приблизилось к тем десяткам миллиардов, которые следовали бы из продолжения гиперболического тренда, и сегодня составляет около 8,3 млрд человек. Коэффициент рождаемости упал ниже уровня простого воспроизводства (2,1 на ребенка-женщину) в большинстве стран, включая Россию и Европу. И что примечательно, эта тенденция затронула даже те регионы, где не применялись агрессивные программы контроля рождаемости. Что доказывает: корни проблемы глубже. Они — в урбанизации, росте образованности женщин и фундаментальном изменении экономических условий.
Если раньше дети были дополнительными руками в доме, то сегодня они стали главной статьёй расходов. Карьера, поиск себя, жизнь отдельно от родителей и вечная проблема с жильём — всё это вместе и закрутило воронку, из которой сложно выбраться, чтобы завести семью. Так меры по планированию семьи, наложившись на глубокие социально-экономические сдвиги, стали частью процесса, приведшего к глобальному демографическому дисбалансу. Сегодня главный вызов — уже не призрак перенаселения, а реальность стареющих обществ, сокращающейся рабочей силы и пенсионных систем, несущих непосильную нагрузку. В условиях, когда фундаментальные основы общественного договора и личной безопасности становятся зыбкими, ждать демографического чуда наивно. А пустые призывы к «традиционным устоям» в такой реальности звучат не как решение проблемы, а как риторический жест, лишённый практического содержания.
Ошибка Фёрстера — не просто забавный курьёз из истории науки. Это напоминание: будущее не предопределено ни гиперболами, ни пессимистическими прогнозами. Давно ясно, что 2026-й не станет годом демографического апокалипсиса — он станет символом того, как реальность побеждает упрощённые модели. Математика незаменима для понимания возможных сценариев, но она бессильна там, где мы подменяем анализ механизмов слепым продолжением кривых.
Пусть 2026-й станет годом, когда в ребёнке перестанут видеть «угрозу устойчивого развития» или «обязательство по демографическому плану», и начнут создавать общество, в котором каждый новый человек будет желанным — не как будущий солдат, обезличенный налогоплательщик или «инвестиция» в пенсионную систему, а как единственная и неповторимая жизнь, ценная уже самим фактом своего существования.

2026: Счастливого нового года!

Счастливые числа (happy numbers) — это вполне реальное математическое понятие, происхождение которого одни источники связывают с Капрекаром (тем самым, что открыл числа харшад), а другие — с Гарднером.
Что делает число счастливым? Алгоритм, проверяющий, достигнем ли мы единицы через итеративное возведение цифр в квадрат и сложение результатов:
2026 → 2²+0²+2²+6² = 44 → 4²+4² = 32 → 3²+2² = 13 → 1²+3² = 10 → 1²+0² = 1.
Этот процесс либо приводит к 1, либо зацикливается — третьего не дано.
Все натуральные числа, для которых этот процесс заканчивается единицей, называются счастливыми числами, а все остальные числа, для которых этот процесс не заканчивается единицей, называются несчастными, или грустными.
В XXI веке счастливых годов всего дюжина: 2003, 2008, 2019, 2026, 2030, 2036, 2039, 2062, 2063, 2080, 2091 и 2093.

Сделает ли "счастливая" цифровая сущность года сам год счастливым — добрым, светлым, мирным? Во всяком случае, мне импонируют идеи, лежащие в основе определения счастливых чисел: устойчивости в преобразовании, способности проходить через сложности, не распадаясь, и в итоге находить простую и устойчивую форму.
Но математика честна и в другом. Алгоритм счастливых чисел не обещает счастья — он лишь описывает предел итераций. Он говорит о том, что при достаточно долгом и упорном применении одного и того же правила система либо приходит к простой форме, либо застревает в бесконечном цикле.
И если оглянуться вокруг, трудно не заметить: мы живём именно в таком цикле, где одни и те же действия вновь и вновь приводят к тем же самым тяжёлым состояниям. Признаки скорого выхода к «единице» в реальности пока не просматриваются.

И всё же хочется верить, что устойчивость, заложенная в понятие счастливых чисел, — это не про беззаботную радость и не про магию дат, а про целостность — про способность не распасться в мире, где завершения затянувшейся трагедии не видно, где допустимые состояния системы постепенно сокращаются, и где счастье не обещано никому заранее.
Пусть 2026-й станет счастливым хотя бы в этом узком, но важном смысле: как год, в котором мы сумеем сохранить разум, человечность и способность отличать надежду от самообмана.

С новым, счастливым 2026 годом. Пусть математическое свойство его номера станет если не предзнаменованием, то хотя бы тихим напоминанием о том, к какому пределу мы всё ещё стремимся.

Загадка спагетти от Р. Фейнмана

Интуиция подсказывает, что сухая спагеттина, согнутая за концы, разломится на две части. Но если вы очень наблюдательны или часто варите макароны, то знаете: вероятнее всего, она разломится на три, а иногда и на четыре фрагмента. Над этой неочевидностью ломал голову ещё Ричард Фейнман, и разгадка, отмеченная Шнобелевской премией 2005 г., кроется не в статике, а в динамике — в том, что происходит в первые миллисекунды после первого щелчка.
Пока стержень цел, его изгиб описывается уравнением статики Эйлера-Бернулли: изгибающий момент M пропорционален кривизне κ. Жёсткость материала задаётся произведением модуля Юнга E на момент инерции сечения I, поэтому M = EIκ. При равномерном изгибе момент действительно максимален в центре, там и возникает первая трещина. Однако это лишь начало процесса; дальнейшее поведение описывается уже динамическими уравнениями.
В момент разлома запасённая упругая энергия не исчезает. Она высвобождается, заставляя половинки резко распрямляться. Этим процессом управляют динамические уравнения Кирхгофа, учитывающие инерцию материала. Освобождённая половинка ведёт себя не как жёсткое тело, а как упругая струна, вступая в сложные колебания. Её форма после разлома подчиняется волновому уравнению для балки:
∂²y/∂t² + α · ∂⁴y/∂x⁴ = 0.
Решения этого уравнения — стоячие волны, или моды колебаний. Начальная форма половинки, простая дуга, математически раскладывается в суперпозицию таких мод. В динамике они вступают во взаимодействие. Упрощённо колебание можно представить как сумму хотя бы двух первых мод: основной (с одним горбом) и следующей (S-образной). Их интерференция описывается выражением вида
y(x; t) ≈ a₁(x) cos(ω₁t) + a₂(x) cos(ω₂t + φ).
В определённые моменты времени эти моды складываются в фазе, создавая новые пики кривизны, которые могут превзойти исходный пик в центре целой спагеттины. Именно в этих точках — часто на расстоянии около четверти длины от свободного конца — напряжение снова достигает критического порога, что и приводит к вторичному разлому.
Таким образом, наша интуиция, основанная на статике, терпит неудачу из-за динамической сложности мира. Эффект возникает из-за волновой «отдачи»: изгибная волна, побежавшая от места первого разлома, интерферирует сама с собой и порождает новые очаги разрушения. Этот сценарий был подтверждён расчётами Базиля Одоли и Себастьена Нёкирха (2005 г.).
Статическое уравнение M = EIκ служит здесь лишь первым приближением, а подлинное описание явления лежит в области волновой динамики. Инерция и волновые эффекты «обманывают» простое правило «где тонко, там и рвётся»: после первого разлома новые точки разрушения определяются динамикой колебаний.
Так, ломая обычную макаронину, можно увидеть силу и красоту математической физики.

🎄Рождественская теорема Ферма:

Простое число p > 2 представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда p ≡ 1 (mod 4).

В прошлые годы мы рассматривали такие доказательства этой теоремы:
Д. Цагира и А.В. Спивака,
А. Туэ,
и К.Ф. Гаусса.
А в этот раз разберём самый аутентичный подход, восходящий к самому Пьеру де Ферма.
Доказательство основано на идее изобретённого Ферма метода бесконечного спуска. Ферма часто применял этот остроумный приём — его можно было бы назвать «математическим детективом»:
1) Гипотеза о преступлении. Допустим, теорема неверна. Существует «преступник» — простое число вида 4k+1, которое нельзя представить как сумму двух квадратов.
2) Поиск главного подозреваемого. Берём наименьший из таких «преступников» (или наименьший множитель N, с которым произведение N·p всё же представимо).
3) Сбор улик. Используя алгебраические тождества, мы из этого подозреваемого конструируем нового «преступника», но уже меньшего размера.
4) Раскрытие дела. Этот процесс можно повторять бесконечно, получая всё меньшие числа. Но натуральные числа не могут убывать бесконечно!
5) Вердикт. Значит, наша исходная гипотеза была ложной. «Преступника» не существует, а теорема — верна!
Это не просто доказательство. Это конструкция, которая ломает ложное предположение, приводя его к логическому абсурду.

Доказательство теоремы методом спуска
Необходимость условия доказывается прямым рассмотрением того, какие остатки при делении на 4 могут давать квадраты целых чисел.
Докажем достаточность (если p = 4k+1, то p = a² + b²).
Шаг 1. Известный факт: для простого p = 4k+1 сравнение x² ≡ –1 (mod p) имеет решение. Найдём такое m:
m² + 1 ≡ 0 (mod p) ⇒ m² + 1 = N·p
для некоторого целого N. Заметим: 1 ≤ N < p. Мы получили, что некоторое кратное p (а именно Np) уже представимо как сумма квадратов: m² + 1².
Шаг 2. Всё держится на тождестве Брахмагупты–Фибоначчи:
(x² + y²)(u² + v²) = (xu + yv)² + (xv – yu)².
Оно говорит: если два числа — суммы квадратов, то их произведение — тоже сумма квадратов. Это наш главный инструмент.
Шаг 3. Предположим, что само p не является суммой двух квадратов. Тогда среди всех представлений вида
Np = x² + y²
с натуральным N выберем то, где N наименьшее. Из шага 1 мы знаем, что такие N существуют и 1 ≤ N < p. И по нашему предположению, N > 1.
Шаг 4. Выберем a и b — остатки от деления x и y на N, но «центрированные», чтобы они лежали в интервале:
–N/2 < a, b ≤ N/2.
Тогда:
a ≡ x (mod N), b ≡ y (mod N),
и, следовательно,
a² + b² ≡ x² + y² ≡ 0 (mod N).
Значит, существует такое N₁, что:
a² + b² = N₁ · N, причём
0 < N₁ ≤ ( (N/2)² + (N/2)² ) / N = N/2 < N.
Используем ключевое тождество:
(Np)(N₁N) = (x² + y²)(a² + b²) = (xa + yb)² + (xb – ya)².
Проверим делимость:
xa + yb ≡ x² + y² ≡ 0 (mod N),
xb – ya ≡ xy – yx ≡ 0 (mod N).
Оба слагаемых справа делятся на N! Поделим всё равенство на N²:
N₁·p = ( (xa + yb)/N )² + ( (xb – ya)/N )².
Мы получили, что число N₁·p (где 0 < N₁ < N) тоже представимо в виде суммы двух квадратов. Но это противоречит нашему выбору N как наименьшего!
Шаг 5. Это противоречие показывает, что исходное предположение было ложным. Следовательно, наименьшее N должно равняться 1, а это и означает, что
p = x² + y².
Простое число вида 4k+1 действительно представимо как сумма двух квадратов. Доказательство завершено.
Метод бесконечного спуска Ферма раскрывает красоту математического мышления: отбрасывая лишнее и выявляя минимальное противоречие, он приводит к ясной и непреложной истине, словно праздничное чудо, происходящее из простых, но точных шагов.

#геом_разминка #medium #8

Задача. На рисунке в нижнем ряду изображены 5 равнобедренных треугольников с длинами оснований 12, 13, 14, 15, 16 см. В рядах выше изображены 10 четырехугольников. Каждый четырехугольник представляет собой ромб, а вершина башни — квадрат. Какова площадь квадрата?

Подсказка

Гора из ромбов

На днях в одном хорошем канале Фулл и точка по олимпиадой геометрии была опубликована замечательная конструкция из ромбов.
Я решил назвать ее «горой»
из ромбов. Ее подножие образуют равнобедренные треугольники, основания которых лежат на прямой и равны 12, 13, 14, 15 и 16.
Сама «гора» состоит из 10 ромбов с равными сторонами, а ее вершину образует квадратный «камень». В связи с этой конструкцией можно задать три интересных вопроса (первый из них был задан в названном канале):

1) Чему равна площадь квадратного «камня» на вершине «горы»?
2) Лежат ли 5 вершин первого ряда ромбов на одной прямой?
3) Чему равна высота всей «горы»?

Решения задач

1) Площадь квадратного камня
Обозначим через a длину стороны каждого ромба.
Ключевую роль в конструкции играют два направления, задаваемые боковыми сторонами крайних равнобедренных треугольников с основаниями 12 и 16.
Направления этих рёбер (правая сторона первого треугольника и левая — второго) при подъёме переносятся параллельно и сохраняются вплоть до вершины. В вершине именно эти два направления становятся сторонами квадратного камня, а значит, они перпендикулярны.
Горизонтальные проекции этих направлений равны половинам оснований крайних треугольников:
12/2 = 6 и 16/2 = 8.
Вертикальные проекции равны высотам этих треугольников:
h₁₂ = √(a² − 36),
h₁₆ = √(a² − 64).
Перпендикулярность двух векторов означает их нулевое скалярное произведение. Выбирая знаки проекций согласованно (векторы направлены в разные стороны по горизонтали), получаем:
h₁₂·h₁₆ = 6·8.
Отсюда
√(a² − 36)·√(a² − 64) = 6·8.
Возводя в квадрат,
(a² − 36)(a² − 64) = 36·64,
получим a² = 100.
Ответ: площадь квадрата равна 100.

2) Вершины подножных треугольников
При a = 10 вершина равнобедренного треугольника с основанием m имеет высоту
h(m) = √(10² − (m/2)²).
Рассмотрим три треугольника с основаниями 12, 14 и 16 (за начало отсчёта примем левую вершину первого треугольника). Их вершины имеют координаты по основанию:
x₁ = 6, x₃ = 32, x₅ = 62,
а высоты:
8, √51 и 6.
Если бы эти точки лежали на одной прямой, то угловые коэффициенты совпадали бы. Но
наклон между крайними точками равен
(6 − 8)/(62 − 6) = −1/28 — рациональное число.
Тогда наклон между точками для 12 и 14 тоже должен быть −1/28, то есть
(√51 − 8)/(32 − 6) = −1/28,
откуда √51 = 99/14 — противоречие.
Следовательно, уже три точки не коллинеарны, а значит все пять и подавно не лежат на одной прямой.

3) Высота горы
Вычислим высоты всех треугольников при a = 10:
h₁₂ = 8,
h₁₃ = ½√231,
h₁₄ = √51,
h₁₅ = ⁵⁄₂√7,
h₁₆ = 6.

Лемма. Высота всей горы равна h₁₂ + h₁₃ + h₁₄ + h₁₅ + h₁₆.
Доказательство. Идём по внешнему левому склону от основания до вершины. Этот склон составлен из пяти штрихованных отрезков, каждый из которых является стороной некоторого ромба. В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому на каждом “шаге” внешний отрезок параллелен боковой стороне соответствующего подножного треугольника. Следовательно, вертикальная проекция каждого шага равна высоте соответствующего треугольника h₁₂, h₁₃, h₁₄, h₁₅, h₁₆. Складывая вертикальные приращения, получаем высоту горы:
H = h₁₂ + h₁₃ + h₁₄ + h₁₅ + h₁₆.

Итак,
H = 14 + ½√231 + √51 + ⁵⁄₂√7.
Ответ: высота горы равна 14 + ½√231 + √51 + ⁵⁄₂√7.

Геометрия вершины горы определяется крайними элементами конструкции. Боковые стороны треугольников с основаниями 12 и 16 задают два направления с тангенсами наклонов 4/3 и 3/4; эти направления взаимно перпендикулярны, поэтому верхний камень неизбежно является квадратом площадью 100. Внутренние элементы не влияют на ориентацию вершины: их вклад лишь суммируется при подъёме и проявляется только в общей высоте конструкции.

Со старым Новым годом! В математике мы ценим утверждения, которые выдерживают повторение, — поэтому предлагаю просто принять следующие поздравления.

Пусть в новом году у вас и у всех ваших родных и близких всё будет нормально (Гаусс)
Притягивайтесь друг к другу и сближайтесь (Исаак Ньютон)
Пусть удача выталкивает вас вверх из любой ситуации, как архимедова сила! (Архимед)
Пусть новый год будет дискретным, чтобы вы могли наслаждаться каждым его моментом. Интегрируйте радость, а проблемы дифференцируйте до нуля! (Лейбниц)
Пусть всё сходится и ничего не расходится (Коши)
Пусть малые изменения приводят только к большим радостям, а траектории будут устойчивыми (Пуанкаре)
Пусть всё лишнее в жизни успешно сокращается (Артин)
Пусть любой жизненный шум разложится на гармоничные волны удачи (Фурье)
Пусть всё, что кажется хаосом, на деле имеет структуру (Мандельброт)
Пусть ваша удача будет бесконечной лентой — без начала, конца и изнанки (Мёбиус)
Пусть в новом году у вас всегда будет инвариант (Нётер)
Пусть все границы будут компактными (Хаусдорф)
Желаю, чтобы все пути оптимизировались автоматически (Беллман)
Желаю найти оптимальное решение для всех задач нового года (Эйлер)
Пусть вероятность успеха стремится к единице (Колмогоров)
Пусть ваш год будет разрешимым, а каждый день — алгоритмом, который всегда останавливается (Тьюринг)
Пусть любое противоречие имеет модель (Тарский)
Пусть всё будет доказуемо хорошо (Гильберт)
Пусть даже у тупиков всегда находится продолжение (Гёдель)
Пусть количество радостей будет больше, а количество проблем — строго меньше нуля (Стевин)
Пусть ваше настроение всегда будет положительно определённым (Сильвестр)
Пусть ваш жизненный путь будет кратчайшим, но самым насыщенным (Ферма)
И пусть даже самые абстрактные мечты находят реализацию (Гротендик)