🔶قضیه طیفی:

فرض کنید V یک فضای برداری با ضرب داخلی باشد(روی میدان اعداد مختلط)
همچنین T رو یک عملگر نرمال روی V در نظر بگیرید
(عملگر T رو نرمال مینامیم هرگاه
(TT*=T*T

قرار دهید:

r1,...rk
مقادیر ویژه عملگر T

v1،...vk
بردارهای‌ویژه نظیر مقادیرویژه

W1,..,Wk
زیرفضاهای تولید شده توسط بردارهای ویژه

E1,...Ek
تصویر متعامد V روی زیرفضاهای Wi



در این صورت Wi ها بر هم عمودند

و

V=W1+W2+...+Wk (جمع مستقیم)

و

T=r1E1+r2E2+...+rkEk (*)

رابطه * تجزیه طیفی عملگر T نامیده میشود.


🔷توجه کنید که فضای برداری ما میتواند روی اعداد حقیقی هم باشد و در این صورت باید فرض کرد که T یک عملگر هرمیتی است.

🔷توجه کنید که وقتی در جبرخطی از عملگر‌ها سخن میگوییم در واقع از ماتریس‌ها صحبت میکنیم(میدانیم که تناظر یک به یک بین عملگر‌ها و ماتریس‌ها برقراره)
پس تجزیه طیفی رو برای ماتریس‌ها هم داریم.

🔷یکی از کاربردهای جالب قضیه تجزیه طیفی این است که ما میتوانیم توابع مختلف رو روی عملگر‌های قطری شدنی و نرمال(یا ماتریس‌های با این ویژگی) تعریف کنیم(مثلا sin A رو وقتی A ماتریس نرمال و قطری شدنی باشه میتونیم تعریف کنیم)
روش تعریف به صورت زیر است:

فرض کنید f تابعی باشد که دامنه اش شامل مقادیر ویژه عملگر ما باشد(مقادیر f در میدان هستند)
در این صورت تجزیه طیفی T رو مینویسیم (رابطه *)

و تعریف میکنیم
f(T)=f(r1)E1+...+f(rk)Ek

#A1018P
@harmoniclib

نکته‌ای در مورد خبرنامه ها

Whether or not you ever again use the math you learned in school, the act of having learning the math established a wiring in your brain that hadn’t existed before, and it’s the wiring in your brain that makes you the problem solver.

@harmoniclib

حتی اگر هیچ وقت از ریاضی که در مدرسه خواندید استفاده نکنید فقط خواندن ریاضی باعث می‌شود ارتباطاتی در ذهن شما به وجود آید که قبلا وجود نداشته و همین شما را قادر به حل مشکلات خواهد کرد.
@harmoniclib

رسم جالب موج
اشکالی که امواج صوتی در سطح ایجاد می کنند.
حتماً ببینید و نشر دهید
@harmoniclib

رابط‌های منطقی
@harmoniclib

آیا توران میرهادی را می شناسید؟!
#آموزش
@harmoniclib

📣ناشران و نویسندگان محترم کتاب‌های ریاضی و غیر ریاضی

کانال اخبار و کتاب‌های ریاضی آماده همکاری با شما جهت فروش کتاب‌های انتشارات شما با تخفیف ویژه برای اعضای این کانال می‌باشد.
لطفا جهت هماهنگی به مدیر کانال پیام دهید.
👇👇👇
@meisami_mah

یادگیری ماشین چیست؟!
Machine learning
@harmoniclib

شناخت بی‌نهایت را از کجا شروع کنیم؟!
👇👇👇
https://youtube.com/shorts/EX0mQVmAHhs?si=KN7GrCDauKzuX1b2

تجلی ریاضیات در معماری:

‌‎مدرسه باباقاسم(اماميه) اصفهان

‌باباقاسم از عرفای نیمه‌ی اول قرن هشتم هجری بود. یکی از مریدان او به نام خواجه‌سعیدالدین‌ سلیمان‌بن‌شرف‌الدین‌ابی‌الحسن‌بن‌طالوت‌دامغانی در سال ۷۲۵ هجری قمری برای او اين مدرسه را بنا كرد. ‌این مدرسه از آثار معماری دوره‌ی ایلخانی است. این بنای دو طبقه مستطیل شکل و چهار ایوانی اجرا شده است. ‌‎در ایوان جنوبی، شبستانی گنبددار است که تمام خصوصیات یک مسجد را دارد. ‌‎این بنای دو طبقه حجره‌های فوقانی و تحتانی دور تا دور صحن را دربرگرفته‌است.‌‎ تزیینات بنا شامل کاشی‌کاری‌های رنگارنگ، مقرنس و کتیبه است. رنگ لاجوردی که نمادی است از تزیینات دوره ایلخاناپی، در این بنا چشم‌نواز است. ‌‎هركدام از ايوان‌های چهارگانه‌ی اين مدرسه با كتيبه‌هایی به خط بنایی تزیين شده. ‌‎محراب مدرسه از زیباترین بخش‌های آن بود که اکنون در موزه متروپولیتن نيويورک است. ‌‎این محراب با نقوش گیاهی، هندسی و به خط نسخ(در قاب محراب) و کوفی تزیینی(در قوس جناغی محراب) مزین شده‌است. در این تزیینات رنگ‌های سفید و آبی‌فیروزه‌ای زرد طلایی و سبز کم‌رنگ بر زمینه‌ای فیروزه‌ای به کار رفته.
@harmoniclib

دکتر یحیی تابش
راه حل هایی برای مشکل عدم اشتغال فارغ التحصیلان رشته ریاضی
@harmoniclib

بفرمایید چای در بطری کلاین
Klein bottle
@harmoniclib

آیا بین صفحه (R^2) و فضا (R^3) هیچ تابعی وجود ندارد که دوسویی، پیوسته و دارای وارون پیوسته باشد؟!

می‌توان به این سوال به شکل کلی‌تری پاسخ داد. برای هر n بزرگتر از ۲ فضای R^n و صفحه R^2 همئومورف نیستند.

یعنی هیچ تابع پیوسته، یک به یک و پوشا با وارون پیوسته بین آنها وجود ندارد.

دلیل این امر این است که اگر در فضای R^n که n بزرگتر از ۲ هست یک نقطه را از فضا حذف کنیم فضای بدست آمده همبند ساده است ولی در صفحه R^2 چنین نیست.
یعنی با حذف یک نقطه از R^2 فضای بدست آمده دیگر همبند ساده نخواهد بود.

پس R^2 با R^3 و نیز با هیچ R^n به ازای n های بزرگتراز ۲ همئومورف نیست.


اما ممکن است بپرسید فضای همبند ساده چیست؟

در توپولوژی جبری به فضاهای توپولوژیک، یک گروه نسبت میدهند به نام گروه بنیادی و میتوان ثابت کرد که این گروه بنیادی خاصیت تابعگونی(فانکتوری) دارد.
به این معنی که اگر بین دو فضای توپولوژیک یک همومورفیسم موجود باشد، بین گروه‌های بنیادی آنها یک یکریختی موجود خواهد بود.

یک فضای توپولوژیک را همبند ساده مینامیم هر گاه گروه بنیادی آن بدیهی باشد(گروه تک عضوی)

میتوان نشان داد برای n بزرگتر از ۲
گروه بنیادی فضای R^n که یک نقطه از آن برداشته شده گروه بدیهی است (پس این فضا همبند ساده است.)

اما گروه بنیادی فضای R^2 که یک نقطه از آن برداشته شده با گروه جمعی Z یکریخت است.

پس طبق خاصیت تابعگونی گروه بنیادی، این فضاها نمیتوانند همئومورف باشند(چون گروه جمعی Z با گروه بدیهی یکریخت نیست)

پس R^n برای n های بزرگتر از ۲ با R^2 همئومورف نخواهد بود و در نتیجه تابعی پیوسته یک به یک پوشا با وارون پیوسته بین این دو فضا وجود ندارد.

#A1018P
@harmoniclib

اثبات عملی یک قضیه
@harmoniclib

یک‌ دوچرخه بی‌سرنشین را ۸۰۰ بار با سرعت هُل داده و رهایش کرده اند تا بیفتد. مسیری که چرخ جلو در این ٨٠٠ بار طی کرده، چنین طرحی را آفریده است.
@harmoniclib

اگه با سرعت مجاز ۱۲۰ کیلومتر در ساعت از زمین به سمت خورشید رانندگی کنیم، ۱۴۲ سال دیگه می رسیم بهش.
واقعا این خورشید چه انرژی داره که ما وقتی از فاصله‌ی به این دوری بهش نگاه می کنیم چشمامون می سوزه؟؟؟
@sciencefrontiers

مسأله دهم هیلبرت
Hilbert's tenth problem
@harmoniclib

این تصویر در فنجان متعلق به براور می باشد که پس از یک تبدیل پیوسته عکس دیگری به دست آمده که علیرغم تغییر نقاط، یک نقطه آن تغییر نکرده است. این همان نقطه ثابت ادعایی قضیه براور است.
@harmoniclib

دوستان عزیز و گرامی کانال اخبار و کتاب‌های ریاضی

هر پرسشی در زمینه رشته ریاضیات و کاربردهای آن دارید می‌توانید به شکل کاملا رایگان با بنده مشاوره کنید.

اگر خودم بتوانم کمک کنم که دریغ نمی‌کنم، اگر هم نتوانم شما را به افراد مطلع ارجاع می‌دهم.
👇👇👇
@meisami_mah

هر خم از جعد پریشان تو زندان دلی‌ست
تا نگویی که اسیران کمند تو کمند
@harmoniclib
سعدی