محاسبه ی یک سری با جمله ی عمومی فیبوناتچی
دکتر علیخانی
@harmoniclib

مطالب جذاب و به روز ریاضی خود را برای ما بفرستید تا در کانال نشر دهیم.
(شما می توانید با تعیین یک هشتگ اختصاصی برای خود شرایطی را فراهم کنید که خوانندگان کانال با جستجوی هشتگ شما در کانال پیگیر مطالب ارسالی از سمت شما باشند.)👇
@meisami_mah

نمودار ون برای شش مجموعه
#math_and_life
@harmoniclib

Spherical triangle
مثلث کروی
#math_and_life
@harmoniclib

بررسی واگرایی سری sum 1/p
دکتر علیخانی
@harmoniclib

برای آموزش سهمی می توان چراغ های کلاس را خاموش کرد و برای همیشه شکل زیبایش را در ذهن دانش آموزان ترسیم نمود
کلاس ریاضی معماری خاص خودش را می طلبد...
#math_and_life
@harmoniclib

مقاله ای که کوچر بیرکار به خاطر آن جایزه فیلدز گرفت۰
@harmoniclib

"For the proof of the boundedness of Fano varieties and for contributions to the minimal model program."

عنوان جایزه فیلدز بیرکار:

"به خاطر اثبات کران دار بودن واریته های فانو و کمک به برنامه مدل مینیمال."

فکر می کنم برای شروع باید ببینیم تعریف واریته های فانو و برنامه مدل مینیمال چیه (ضمن این که برای ورود به این مباحث باید ابتدا پایه هندسه جبری خود را از منابعی که در پست های پیشین معرفی کردم و/یا منابع دیگر تقویت کرد):

برنامه مدل مینیمال:

هدف این برنامه طبقه بندی واریته های جبری birational هست. به گونه ای که در هر کلاس هم ارزی بتوان ساده ترین واریته ی ممکن را پیدا کرد. نکته ای که وجود دارد نقش کاپای ایکس هست (یعنی بعد Kodaira ی یک واریته)، به گونه ای که بعد کدایرای واریته و نامتناهی بودن یا نبودن آن به ما در این طبقه بندی کمک می کند.

واریته فانو:

واریته ی کاملی چون X که کلاف پاد-کانونی آن ample است را واریته ی فانو گویند. این که "واریته کامل" و "ample بودن کلاف برداری چیست" خود بحث مفصلی می طلبد که باید چندین پست به آن اختصاص داد!

#MojeeNC
@harmoniclib

پست قبلی در ارتباط با کار های بیرکار بهانه ای برای ورود به مفاهیم هندسه جبری بود. ابتدا عبارتی از پست قبل رو اصلاح کنم. در آنجا گفتم "طبقه بندی واریته های birational" که باید به این شکل تصحیح گردد: "طبقه بندی birational واریته های جبری".

خوب، همانگونه که مشخص است فهم دقیق این مفاهیم نیاز به مطالعه کتاب های مذکور دارد. اما از آنجا که در کل ریاضیات محض غریب و مظلوم است مطمئناً در این راه با مشکلات زیادی مواجه می شوید و باید به کمک هم دیگر این مفاهیم رو بهتر یاد بگیریم و نمی توان انتظار تک روی در این عرصه های پر از سنگ لاخ را داشت.

مقدمه ای هم در ارتباط با هندسه جبری: زمانی که دکارت و دیگران، مفاهیم هندسه مسطحه مثل دایره و بیضی و ... را از ترسیمی صرف به سمت جبر کشاندند و برای هر کدام معادلات جبری خلق کردند، اولین قدم ها برای اتصال هندسه با جبر برداشته شد. همین مسیر به مرور تکمیل شد و با پیشرفت جبر و خلق اشیائی چون گروه ها و حلقه ها و ... در جبر از یک سو و خلق اشیائی چون منیفلد و کلاف و ... در هندسه از سویی دیگر، این ارتباط بین هندسه و جبر هم عمیق تر گشت و این شاخه را به یکی از عمیق ترین و جذاب ترین شاخه های ریاضیات مدرن تبدیل کرد که به جادوهای خود ادامه می دهد.

واریته در حقیقت یک مفهومی هست که می توان از تعمیم مفاهیم جبر خطی بدست آورد، همانگونه که ما در جبر خطی به دنبال حل دستگاه معادلات "خطی" هستیم در هندسه جبری این محدودیت خطی بودن را برداشته و به دنبال صفر مشترک دستگاه چند جمله ای های چند متغیره هستیم.

پیشاپیش بگویم که نوع توضیحات کلی و نادقیق من موجب میشه که اساتید هندسه جبری به توضیحاتم ناسزا بگن! ولی اهمیتی ندارد، چون برای یادگیری مفاهیم سختی که در ابر ها هستن مجبوریم اون ها رو یکم زمینی و خاکی کنیم تا حداقل یک کلیتی از آن ها در ذهن ما و مخاطب شکل بگیرند.

می خواهم در این پست و پست های متعدد آینده کم کم وارد مفهوم بحث birational بشم، منتها ابتدا باید کمی در مورد خود واریته ها صحبت شود.

فضایی که واریته های هندسه جبری در آن زیست می کنن معمولاً دو فضای آفینی و تصویری هستند. برای این که فهم شهودی از این دو فضا داشته باشید می توان از کتب هندسه که معرفی شد شروع کرد. منتها یادتان باشد اگر بخواهیم عمیق وارد هر کدام از پیش نیاز های هندسه جبری بشویم ممکنه زمانی که موهایمان سپید گشت به مرز های کنونی علم برسیم!

فضای هندسه تصویری در حقیقت نسبت به فضای اقلیدسی به نوعی کامل تر است، یک مقایسه نادقیق حل معادلات در اعداد حقیقی هست که وقتی آن را به فضای مختلط بسط می دهیم معادلات به طور کامل تر حل می شوند. بنابر این وقتی به شما یک دستگاه چند جمله ای چند متغیره می دهند که در فضای آفینی هست (به طور عادی چند جمله ای ها در این فضا هستند) ابتدا با تغییر متغیر هایی آن را به فضای تصویری می بریم و آنجا ابزار های قدرتمند تری برای حل دستگاه وجود خواهد داشت. اما تفاوت بین فضای آفینی و هندسه اقلیدسی چیست؟ به نوعی می توان گفت فضای آفینی همان اقلیدسی است (حداقل از نظر اعضای داخل مجموعه، ولی از نظر ارتباط بین این اجزا با هم یک تفاوت خاص دارند) با این تفاوت که در فضای آفین اهمیت صفر حذف شده است.

نکته اصلی فضای تصویری این است که وقتی نقطه ای از این فضا را بگیرید و تمام مختصات آن را در یک عدد ناصفر ضرب کنید نقطه ی جدیدی بدست نمی آید، یعنی نقطه جدید با قبلی هم ارز و یکی هستند. لذا چند جمله ای های این فضا هم دارای این خصیصه هستند که هر ترم یا جمله ی آن دارای درجه ای مساوی با بقیه جملات است. اما فضای آفین دارای این محدودیت نیست و تقریباً هر چند جمله ای که می شناختید را می توان بدون تغییر خاصی جزو واریته آفینی در نظر گرفت.

واریته V روی S که به صورت V(S) نشان داده می شود، در حقیقت شامل نقاطی از فضا است (اگه این فضا آفین باشه میشه واریته آفین و اگر تصویری باشه میشه واریته تصویری) که هم زمان تمام چند جمله ای های مجموعه S را صفر می کند. حال، اگر حتی S شامل 1 چند جمله ای باشد می توان با دودوتا چارتای ساده فهمید که واریته بدست آمده چند جمله ای های دیگری را هم صفر خواهد کرد (کافی هست چند جمله ای های مناسبی (بر حسب فضای مورد نظر) را در آن چند جمله ای اولیه ضرب کنیم تا چند جمله ای های جدید بدست آید). بنابر این اگر کمی فکر کنیم متوجه می شویم که یک واریته متناظر با یک ایده آل در جبر می شود، واریته شامل آن نقاط هندسی و ایده ال شامل چند جمله ای های S می باشد. در اینجا سنگ بنای دوگان هندسه-جبر شکل گرفته و از دل آن مباحث خوف انگیزی بیرون خواهد آمد. 👀

پ.ن: بحث های من در این پست ها بیشتر حالت انگیزشی و شهودی دارند، مطمئناً برای یادگیری بیشتر باید به منابع اصلی رجوع کنید.

#MojeeNC
@harmoniclib

∞ اخبار و کتاب‌های ریاضی ∞

از تازه‌ترین کتاب‌ها و مقالات ریاضی تا زیباترین مسائل، ایده‌ها و شگفتی‌های ریاضیات

◆ رویدادهای جدید ریاضی
◆ معرفی کتاب‌های خواندنی
◆ مسائل و معماهای انگیزشی و چالشی
◆ پادکست‌های شنیدنی
◆ تاریخ و فلسفه‌ی ریاضیات
◆ کاربردهای ریاضی در علم و فناوری
@harmoniclib
به جمع عاشقان ریاضیات بپیوندید:
👇👇👇
t.me/harmoniclib